已知数列{an}中,a1=1,an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 22:56:14
已知数列{an}中,a1=1,an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式

已知数列{an}中,a1=1,an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式
已知数列{an}中,a1=1,an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式

已知数列{an}中,a1=1,an=2a(n-1)+1,求{an}的通项公式
an=2a(n-1)+1
an-2a(n-1)=1
a2-2a1=1
a3-2a2=1
a4-2a3=1
……
an-2a(n-1)=1
把上面式子从第二行开始分别乘以1/2,(1/2)^2,(1/2)^3,……,(1/2)^(n-2),得
a2-2a1=1
1/2*(a3-2a2)=1*1/2
(1/2)^2*(a4-2a3)=1*(1/2)^2
……
(1/2)^(n-2)*[an-2a(n-1)]=1*(1/2)^(n-2)
【等式两边分别相加,左边中间项都消掉了,只余a1和an项,右边是等比数列的和】
(1/2)^(n-2)*an - 2a1 = 1+1/2+(1/2)^2+……+(1/2)^(n-2)
=[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
=2 - 2*(1/2)^(n-1)
=2 - 2*2^(1-n)
=2 - 2^(2-n)
an=[2a1+2 - 2^(2-n)]/(1/2)^(n-2)
=[2+2 - 2^(2-n)]/2^(2-n)
=2^2/2^(2-n)-1
= 2^n -1

由an=2a(n-1)+1
得an+1=2[a(n-1)+1]
于是设bn=an+1
则bn=2b(n-1),
于是{bn}是b1=a1+1=2,公比q=2的等比数列,
bn=b1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
从而an=bn-1=2^n-1