作业帮四个连续自然数的最小公倍数是4560 求4个连续自然数的和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:50:14
四个连续自然数的最小公倍数是4560 求4个连续自然数的和
四个连续自然数的最小公倍数是4560 求4个连续自然数的和
四个连续自然数的最小公倍数是4560 求4个连续自然数的和
……
4560=2×2×2×2×3×5×19
相邻四个自然数中,必定有两个是2的倍数,两个不是2的倍数.
而且两个偶数中,肯定有一个是能被4整除,另一个不能被4整除.
不能被4整除的那个偶数,里面有且只有1个2.
既然4560分解式中有4个2,那么能被4整除那个偶数里面就有3个2.
就是说它是8×(奇数)或16×(奇数)的形式(a),另一个偶数就是2×(奇数)的形式.(b)
相邻四个自然数中,必定有一个是3的倍数.
由于4560分解式中只有1个3,所以四个自然数中只有一个3的倍数,且没有9的倍数.(c)
同理：四个自然数中只有一个5的倍数,且没有25的倍数.(d)
四个自然数中只有一个19的倍数,且没有19^2的倍数.(e)
另外,四个自然数中不含有除2、3、5、19外的质数或他们的倍数.(f)
换句话,四个数满足(a)(b)(c)(d)(e)(f)6条就满足最小公倍数是4560.(以下讨论中只用到a和f)
先从偶数下手：
2×(奇数)这个偶数的可能情况有以下8种：
2 2×3 2×5 2×19
2×3×5 2×3×19 2×5×19 2×3×5×19
分别讨论：(括号内为假设的偶数)
(2、2×3、2×5)这些数都远小于19,不可能.
(2×19＝38)那么另一个偶数只能是40.
37、38、39、40中,37是质数；38、39、40、41中,41是质数.都与(f)矛盾.
(2×3×5＝30)那么另一个偶数只能是32.但32＝2×2×2×2×2,已经有5个2,与(a)矛盾.
(2×3×19＝114)那么另一个偶数只能是112.而112＝2×2×2×2×7,含有质数7,与(f)矛盾.
(2×5×19＝190)那么另一个偶数只能是192.而192＝2×2×2×2×2×2×3,已经有6个2,与(a)矛盾.
(2×3×5×19＝570)那么另一个偶数只能是568.而568＝8×71,71是质数,与(f)矛盾.
结论是：无解……过程列出来,希望高手指出错误之处.
4560=2*2*2*2*3*5*19
显然无解
楼上的思路似乎缜密、周全，但是太复杂，而且有错。
因为任意两个连续自然数都是互质的，而连续两个偶数的唯一公因子是2，连续两个奇数也是互质的。
4560=2*2*2*2*3*5*19，其中有最大因子19，可以假设是所求4个自然数之一。4560所分解的因子中只有3，没有9，所以考虑连续自然数中不可能有18。设这4个自然数是19、20、21、22，那么最小公倍数是19×20×21×11＝...
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楼上的思路似乎缜密、周全，但是太复杂，而且有错。
因为任意两个连续自然数都是互质的，而连续两个偶数的唯一公因子是2，连续两个奇数也是互质的。
4560=2*2*2*2*3*5*19，其中有最大因子19，可以假设是所求4个自然数之一。4560所分解的因子中只有3，没有9，所以考虑连续自然数中不可能有18。设这4个自然数是19、20、21、22，那么最小公倍数是19×20×21×11＝87780，而其他含有因子19的自然数和与其相连的自然数的公倍数一定更大。
显然，没有符合题意条件的自然数。
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题目出错了吧
4560=2×2×2×2×3×5×19