作业帮证明:若AB均为三阶实对称矩阵,且对一切X有XTAX=XTBX,则A=B
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:36:14
证明:若AB均为三阶实对称矩阵,且对一切X有XTAX=XTBX,则A=B
证明:若AB均为三阶实对称矩阵,且对一切X有XTAX=XTBX,则A=B
证明:若AB均为三阶实对称矩阵,且对一切X有XTAX=XTBX,则A=B
取X 为任何一个单位点 即,矩阵中只有一个点为1,其他所有点为0
则可以证明,A和B某一个点的元素是一致的.
依次类推,可以证明A和B中 任何一个元素是一致的.
（以上只提供思路,具体证明过程略过）
由已知, 对任意X 有 X^T(A-B)X=0
只需证:
若对任意的X=[x1,x2,....xn]^T,有X^TAX=0,则有A=0
取 X=(0,...,0,1,0,...,0)^T, 第i个分量为1,其余为0
则有 0=X^TAX=aii
取 X=(0,...,1,...,1,...,0)^T, 第i,j个分量为1,其余为0
则有 0=X^TA...
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由已知, 对任意X 有 X^T(A-B)X=0
只需证:
若对任意的X=[x1,x2,....xn]^T,有X^TAX=0,则有A=0
取 X=(0,...,0,1,0,...,0)^T, 第i个分量为1,其余为0
则有 0=X^TAX=aii
取 X=(0,...,1,...,1,...,0)^T, 第i,j个分量为1,其余为0
则有 0=X^TAX=aii+ajj+aij+aji=aij+aji
又因为 aij=aji
所以 aij=aji=0
所以 A=0.
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关键点是二次型和对称双线性函数是互相决定的.
我用'表示转秩.
对任意的向量X,Y. (X+Y)'A(X+Y)=X'AX+Y'AX+X'AY+Y'AY.
注意由A对称有Y'AX=X'AY所以X'AY=((X+Y)'A(X+Y)-X'AX-Y'AY)/2 (这里要求域的特征不等于2).
即二次型唯一确定了对称双线性函数.
所以本题条件中A, B给出相同的二次型...
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关键点是二次型和对称双线性函数是互相决定的.
我用'表示转秩.
对任意的向量X,Y. (X+Y)'A(X+Y)=X'AX+Y'AX+X'AY+Y'AY.
注意由A对称有Y'AX=X'AY所以X'AY=((X+Y)'A(X+Y)-X'AX-Y'AY)/2 (这里要求域的特征不等于2).
即二次型唯一确定了对称双线性函数.
所以本题条件中A, B给出相同的二次型推出它们给出相同的对称双线性函数.
但双线性函数是与度量矩阵一一对应的(这里就是取X,Y为标准的单位向量).
故A=B.
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