利用柯西函数方程的解,在连续或单调的条件下若f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0,y＞0),求f(x)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 08:28:10

利用柯西函数方程的解,在连续或单调的条件下若f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0,y＞0),求f(x)
利用柯西函数方程的解,在连续或单调的条件下若f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0,y＞0),求f(x)

利用柯西函数方程的解,在连续或单调的条件下若f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0,y＞0),求f(x)
令y=x,得f(x^2)=2f(x),归纳得f(x^n)=nf(x)
f(x)=f([x^(1/n)]^n)=nf([x^(1/n)]),即f(x^(1/n))=1/n*f(x),
故f(x^(n/m))=nf(x^(1/m))=n/m*f(x)
可得,对一切有理数r,总有f(x^r)=rf(x)
由连续性,得对一切实数r,总有f(x^r)=rf(x)
所以f(x)=f(a^(logax))=logax*f(a)=blogax(其中a>0,且a≠1,b=f(a)

令y=x,得f(x^2)=2f(x),归纳得f(x^n)=nf(x)
f(x)=f([x^(1/n)]^n)=nf([x^(1/n)]),即f(x^(1/n))=1/n*f(x),
故f(x^(n/m))=nf(x^(1/m))=n/m*f(x)
可得，对一切有理数r,总有f(x^r)=rf(x)
由连续性，得对一切实数r，总有f(x^r)=rf(x)

利用柯西函数方程的解,在连续或单调的条件下若f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0,y＞0),求f(x) 函数在单调区间内一定是连续的吗?. 单调函数都是连续的吗由参数方程确定的函数如何利用求导解出单调区间?例如x=costy=sint求函数的单调区间函数f(x)在Xo处连续的条件是什么? 单调有界函数是否连续请问一个在实数范围内的单调有界函数是否一定要连续!可以不连续吗?比如函数sgn(x)是否属于单调有界函数? 函数f（x）在点x处可导是连续的___条件,是可微的___条件在闭区间上的单调有界函数是否连续对于函数y=f(x)(x∈D),D为此函数的定义域,若同时满足下列两个条件:①f(x)在D内单调对于函数y=f(x)(x∈D),D为此函数的定义域,若同时满足下列两个条件:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间 “函数在点处可导”是“函数在点处连续”的什么条件? 曲线上的单调函数是否连续?如何证明? 函数的单调区间与单调性的区别尤其是在利用导数求解时函数单调,证明函数极限存在的条件是有界. 函数f(x)在某个区间单调递增或单调递减f(x)的导数就恒正或恒负吗定义：若函数f(x)在闭区间[m,n]上是连续的单调函数,且f(m)(n) 已知函数f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减②存在区间[a,b]真包含于D（其中a 已知函数f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件①f(x)在D上单调递增或单调递减②存在区间[a,b]真包含于D（其中a 为什么二元函数在某点连续不是它在该点可微的充分条件?