作业帮如图已知三角形ABC与三角形BCD所在的平面互相垂直且∠BAC=∠BCD=90°如图,已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点P,Q分别在线段BD,CD上,沿直线PQ将△PQD向上翻折,使D
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 00:26:39
如图已知三角形ABC与三角形BCD所在的平面互相垂直且∠BAC=∠BCD=90°如图,已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点P,Q分别在线段BD,CD上,沿直线PQ将△PQD向上翻折,使D
如图已知三角形ABC与三角形BCD所在的平面互相垂直且∠BAC=∠BCD=90°
如图,已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点P,Q分别在线段BD,CD上,沿直线PQ将△PQD向上翻折,使D与A重合．
（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成的角．（用几何法做）
如图已知三角形ABC与三角形BCD所在的平面互相垂直且∠BAC=∠BCD=90°如图,已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点P,Q分别在线段BD,CD上,沿直线PQ将△PQD向上翻折,使D
第一个问题：
∵平面ABC⊥平面BCD、平面ABC∩平面BCD＝BC、CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC,∴AB⊥CQ.
第二个问题：
设AB＝a,则AC＝a.
∵AB⊥AC,AB＝AC＝a,∴BC＝√2AB＝√2a.
∵CD⊥BC、CD＝BC＝√2a,∴BD＝√2BC＝2a.
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥AC,∴AD＝√（AC^2＋CD^2）＝√（a^2＋2a^2）＝√3a.
由余弦定理,有：
cos∠ADP＝（AD^2＋BD^2－AB^2）/（2AD×BD）＝（3a^2＋4a^2－a^2）/（2×√3a×2a）
＝6/（4√3）＝√3/2.
显然有：AP＝DP,∴容易求出：cos∠ADP＝（AD/2）/DP＝（√3/2）a/DP,
∴（√3/2）a/DP＝√3/2,∴DP＝a.
显然还有：AQ＝DQ,∴容易求出：cos∠ADQ＝（AD/2）/DQ＝（√3/2）a/DQ,
又cos∠ADQ＝CD/AD＝√2a/（√3a）＝√6/3,∴（√3/2）a/DQ＝√6/3,∴DQ＝2√2a/3.
∵BC＝CD、BC⊥CD,∴∠BDC＝45°,∴sin∠BDC＝√2/2.
∴△DPQ的面积＝（1/2）DP×DQsin∠BDC＝（1/2）a（2√2a/3）×（√2/2）＝a^2/3.
而△BCD的面积＝（1/2）BC×CD＝（1/2）√2a×√2a＝a^2.
△ABC的面积＝（1/2）AB×AC＝a^2/2.
△ADQ的面积＝（1/2）DQ×AC＝（1/2）（2√2a/3）a＝√2a^2/3.
令A到平面BCD的距离为b,则：
很明显有：（1/3）b×△BCD的面积＝（1/3）CD×△ABC的面积,
∴a^2b＝√2a×a^2/2,∴b＝√2a/2.
令P到平面ACQ的距离为m、垂足为E,则：
很明显有：（1/3）b×△DPQ的面积＝（1/3）m×△ADQ的面积,
∴（√2a/2）a^2/3＝m（√2a^2/3）,∴m＝a/2.
于是：sin∠PAE＝m/AP＝（a/2）/a＝1/2,∴∠PAE＝30°.
即：AP与平面ACQ所成的角为30°.