作业帮已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:38:07
已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
方法1
要证 1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
只需证1/(a-b)+1/(b-c)>-1/(c-a)
只需证 1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
因为a>b>c,所以(a-b)>0 (b-c)>0 (a-c)>0
且(a-b)1/(a-c)
方法2
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=1/(a-b)+1/(b-c)-1/(a-c)
=1/(a-b)+[(a-c)-(b-c)]/[(b-c)(a-c)]
=1/(a-b)+(a-b)/[(b-c)(a-c)]
因为a>b>c,
所以(a-b)>0 (b-c)>0 (a-c)>0
所以1/(a-b)>0,(a-b)/[(b-c)(a-c)]>0
所以 1/(a-b)+(a-b)/[(b-c)(a-c)]>0
原题得证.
LS证法很好！
这里再提供一种证法：
原不等式等价于证明：
由于a>b>c，所以c-a<0,而a-c>0
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
<=>(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)>1
注意到：(a-c)/(a-b)=(a-b+b-c)/(a-b)=1+(b-c)/(a-b)
(a-c)/(b-c)=(a-c+b-b...
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LS证法很好！
这里再提供一种证法：
原不等式等价于证明：
由于a>b>c，所以c-a<0,而a-c>0
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
<=>(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)>1
注意到：(a-c)/(a-b)=(a-b+b-c)/(a-b)=1+(b-c)/(a-b)
(a-c)/(b-c)=(a-c+b-b)/(b-c)=(a-b)/(b-c)-1
所以(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)=1+(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)-1=(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)
注意到此式中的b-c,a-b都是大于0的。
由均值不等式：(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)>=2√[((b-c)(a-b))/((a-b)(b-c))]=2
即(a-c)/(a-b)+(a-c)/(b-c)>=2>1
于是原不等式成立。
收起
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-b+b-c)=1/(a-c)
所以1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0