作业帮如何证明：相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦.（连心线：连接两圆的线段）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 07:01:02
如何证明：相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦.（连心线：连接两圆的线段）
如何证明：相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦.（连心线：连接两圆的线段）
如何证明：相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦.（连心线：连接两圆的线段）
设圆O和圆O'交于A、B,
∵OA=OB,
∴点O在AB的中垂线上（线段中垂线上的点到这条线段两端的距离相等）,
同理∵O'A=O'B,
∴点O'在AB的中垂线上,
∴OO'垂直平分AB
即相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦.
弦的垂直平分线必过圆心，那么公共弦的垂直平分线，肯定过2个圆的圆心哦~
记⊙O1,⊙O2相交于A,B，连接AO1,BO1,AO2,BO2，O1O2,
由三边相等得到ΔO1O2A≌ΔO1O2B，
从而∠AO1O2=∠BO1O2，又三角形AO1B是等腰三角形，由三线合一马上得到了垂直平分
证明(用对称性):
因为两圆所组成的图形是以连心线为对称轴的图形,而两圆的交点则为连心线两侧对应的两点,所以对称轴垂直平分两对应点之间的线段,即连心线垂直平分公共弦.
(轴对称图形中,对称轴垂直平分对应点之间的线段)
分别连接两个圆心和公共弦的两端，容易证明两个三角形全等（三边相等），所以四条半径构成一个平行四边形，平行四边形的对角线互相垂直。
设圆O和圆O'交于A、B，
∵OA=OB，
∴点O在AB的中垂线上
∵O'A=O'B，
∴点O'在AB的中垂线上，
∴OO'垂直平分AB
相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦。
设 连心线的两端分别是A B点 圆心O1 O2
则 O1A=O1B=r O2A=O2B=R
所以 O1在AB的垂直平分线上 O2在AB的垂直平分线上
所以连心线O1 O2 平分公共弦AB 得证
在公共弦取中点，分别连接两圆心得到两条线段，由圆的性质知道这两条线段均与公共弦垂直，由在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与其垂直可知
反证法：分别连接弦中点和各圆心，圆心和中点的连线是垂直于弦的，因过线上一点只有一个垂线，所以两圆心与中点在一条线上
利用相似三角形证明