作业帮解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 17:36:56
解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
解三角形
已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
解三角形已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值
S=a^-(b-c)^2
=a^2-b^2-c^2+2bc
=-2bccosA+2bc
=2bc(1-cosA)
而面积公式还有S=(1/2)bcsinA
故sinA=4(1-cosA),解得cosA=15/17,1(舍去)
所以S=2bc(1-15/17)
=4bc/17
≤4[(b+c)/2]^2/17
=4(8/2)^2/17
=64/17
“=”当且仅当b=c=4时取得.
根据余玄定理： a²＝b²＋c²－2bccosA，及b+c=8代入S=a^2-(b-c)^2，化简成只有b与cosA的函数，根据-1≤cosA≤1求解二次函数最大值即可。
a
.....
S=a^2-(b-c)^2=a^2-（b+c）^2+4bc
又由余弦定理知a^2=b^2+c^2-2bccosA=（b+c）^2-2bc-2bccosA
所以代入上式得S=2bc-2bccosA
又S=1/2bcsinA
所以得2bc-2bccosA=1/2bcsinA 即4-4cosA=sinA
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S=a^2-(b-c)^2=a^2-（b+c）^2+4bc
又由余弦定理知a^2=b^2+c^2-2bccosA=（b+c）^2-2bc-2bccosA
所以代入上式得S=2bc-2bccosA
又S=1/2bcsinA
所以得2bc-2bccosA=1/2bcsinA 即4-4cosA=sinA
由sinA^2+cosA^=1 j解得sinA=8/17
所以S=1/2bcsinA=4/17*bc≤ 4/17*[(b+c)/2]^2=64/17
所以当且仅当b=c=4时 = 成立 S取得最大值是64/17。
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