如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:47:37
如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.

如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.
如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.

如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD.
设AB＝2m、AD＝2n.令CD的中点为E.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM、PA⊥AD,又△PAD是等腰三角形,∴PA＝AD＝2n.
∵ABCD是矩形,∴BC＝AD＝2n、BC⊥BM.
∵AM＝BM、AB＝2m,∴AM＝BM＝m.
由勾股定理,有：
PM＝√（PA^2＋AM^2）＝√（4n^2＋m^2）、　CM＝√（BM^2＋BC^2）＝√（4n^2＋m^2）.
∴PM＝CM,又PN＝CN,∴MN⊥PC.
由勾股定理,还有：
AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（4n^2＋4m^2）、　PD＝√（PA^2＋AD^2）＝2√2n.
∵PN＝CN、CE＝DE,∴NE是△CDP的中位线,∴NE＝PD/2＝√2n.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,∴由勾股定理,有：
PC＝√（PA^2＋AC^2）＝√（4n^2＋4m^2＋4n^2）＝2√（2n^2＋m^2）,
∴NC＝√（2n^2＋m^2）.
∴MN＝√（CM^2－NC^2）＝√（4n^2＋m^2－2n^2－m^2）＝√2n.
∵ABCD是矩形,又M、E分别是AB、CD的中点,∴ME＝AD＝2n.
∴由MN＝√2n、NE＝√2n、ME＝2n,得：MN^2＋NE^2＝ME^2,
∴由勾股定理的逆定理,有：MN⊥NE.
由MN⊥PC、MN⊥NE、PC∩NE＝N,得：MN⊥平面PCE,即：MN⊥平面PCD.

如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN⊥平面PCD. 如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点.求证MN平行平面PAD 已知：如图,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD已知：四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD M,N分别是AB、PC的中点,求证：直线MN⊥AB 如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点求证(1)：MN⊥AB(2)：若PA=AD,求证MN⊥平面PCD 如图 已知PA⊥矩形ABCD所在平面 且PA=AB E为PB中点 求证：AE⊥平面ABC 如图已知pa垂直于平面abcd,四边形abcd是矩形,m,n分别是ab,pc中点,求mn垂直于ab 如图已知pa垂直于平面abcd,四边形abcd是矩形,m,n分别是ab,pc中点,求mn垂直于ab 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,若PA=AD=AB,求PC与平面ABCD求PC与平面ABCD所成角的正切值 如图,已知PA垂直于平面ABCD中,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M,N分别是AB,PC的中点求二面角P-CD-B的大小求证:平面MND垂直于平面PCD 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=a,又M,N分别是AB,PC的中点,求证平面PMC⊥平面PCD 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD.M为AB的中点.求证：平面PMC⊥平面PCD 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面 PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E,F分别是...如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面 PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E,F分别是PC,BD的中点.证明EF平行于平面PAD 证明AB垂直于 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,AB=2,∠PDA=45°,E、F分别是AB、PC如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,AB=2,∠PDA=45°,E、F分别是AB、PC的中点（1）求证：EF∥平面PA 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证：平面PMC⊥平面PCD. 如图,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=PD,M,N分别为PC,AB中点,求证:MN⊥平面PCD 如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,（1）求证；AF//平面PEC（2）若PD与平面ABCD所成角为60,且AC=2,AB=4,求点A到平面PED的距离 如图,PA⊥矩形ABCD所在平面M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD.求证平面AND⊥平面PDC 如图,在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝2,BC＝4,E是PD的中点.求点B到平面PCD的距离.