已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4和直线l:kx-y-4k+3=0 求证无论k取何值直线与圆总相交

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 09:29:04
已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4和直线l:kx-y-4k+3=0 求证无论k取何值直线与圆总相交

已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4和直线l:kx-y-4k+3=0 求证无论k取何值直线与圆总相交
已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4和直线l:kx-y-4k+3=0 求证无论k取何值直线与圆总相交

已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4和直线l:kx-y-4k+3=0 求证无论k取何值直线与圆总相交
KX-Y-4K+3=0
KX-4K=Y-3
Y-3=K(X-4)
可以看到,无论K为何值,直线总过定点(4,3)
根据圆方程,圆心为(3,4),半径为2
根据两点间距离公式,定点(4,3)到圆心距离为√2,小于半径
定点在圆内,所以无论K为何值,只要直线过定点,则一定和圆相交

kx-y-4k+3=0
(x-4)k-y+3=0
令x=4 则y=3
故直线恒过P(4,3)
把这个点代入圆方程左边
(4-3)²+(3-4)²=2<4
所以P在圆内部
过P作直线必定与圆相交
所以无论k取何值直线与圆总相交

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