在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求角ABP的大小!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 09:40:48
在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求角ABP的大小!

在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求角ABP的大小!
在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求角ABP的大小!

在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求角ABP的大小!
很简单,最后的方程如果直接用数学软件求解,可得近似值
∠ABP ≈ 0.6443(弧度)≈ 36°55'
解析:
∠APB+∠BPC+∠APC=360°且∠APB:∠BPC:∠APC=5:6:7
容易求得,∠APB=100°,∠BPC=120°,∠APC=140°
将ΔAPC绕点A顺时钟旋转60°得到三角形AP'B,连接PP’
∵ΔAP'B≌ΔAPC
∴∠AP'B=∠APC=140°,P'B=PC,AP'=AP
∵∠PAP'=60°,AP=AP'
∴ΔBPP’是等边三角形
∴PP'=PA
∵∠APP'=∠AP'P=60°
∴∠BPP'=∠APB-∠APP'=100°-60°=40°
∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=140°-60°=80°
∠P'BP=180°-40°-80°=60°
在ΔBPP'中,由正弦定理得
PP'/sin∠P'BP=PB/sin∠BP'P
PP'/PB=sin60°/sin80°
在ΔABP中,也由正弦定理得
PA/sin∠ABP=PB/sin∠BAP
设∠ABP=x,则∠BAP=80°-x
PA/PB=sinx/sin(80°-x)
∵PP'=PA
∴sin60°/sin80°=sinx/sin(80°-x)
sin60°sin(80°-x)=sin80°sinx
用和差公式展开
sin60°(sin80°cosx-cos80°sinx)=sin80°sinx
sin60°sin80°cosx=(sin60°cos80°+sin80°)sinx
tanx=sin60°sin80°/(sin60°cos80°+sin80°)
tanx=(√3)tan80°/(2tan80°+√3)
x=arctan[(√3)tan80°/(2tan80°+√3)]
即∠ABP=arctan[(√3)tan80°/(2tan80°+√3)]

在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求角ABP的大小! 在等边△ABC中,有一点P,且∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7.求以AP、BP、CP为边的三角形的内角度数之比. 数学题 勾股定理 等边△ABC内有一点P,若PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数 已知等边△ABC中有一点P,∠APC=110°,∠APB=120°,求以线段PA|,PB,PC为边构成的三角形的三个内角的度数 在等边△ABC中一点P,PA:PB:PC=3K:4K;5K,K>0,求∠APB的度数 在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点,且∠APB>∠APC,说明PB 奥数题,高手进:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA且PA=8,PC=6,则PB=拜托大哥们,△ABC不是等边,P也不是什么“费马点”,你们以为你是神啊,随便就编个已知条 等边ΔABC内有一点p.若点p到顶点A.B.C.的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数 求证:BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB 证明中为什么A,B',P,C四点共圆?若P为△ABC所在的平面上的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120,则P点叫做△ABC的费马点,在锐角△ABC外侧作等边△ACB’连接BB’求证 (1)如图,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5则∠APB=__________,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌__________这样,就可 在三角形ABC中一点P,PA:PB:PC=3K:4K:5K,求∠APB的度数在等边△ABC中一点P,PA:PB:PC=3K:4K;5K,K>0,求∠APB的度数 一道数学几何题,与勾股定理有关在等边三角形ABC中有一点P,满足PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数. 在一个正三角形ABC中有一点p,AP=3,BP=4,CP=5.求角APB 已知 如图在正方形abcd中有一点P,且PB=2,PC=4,PA=2根号2,求∠APB的度数? 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC形内一点,且∠APB=∠APC=135° 如图所示,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点,且∠APB>∠APC,求证:PB 如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点,且∠APB>∠APC,试着说明PB<PC. 在三角形ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点且∠APB>∠APC,试说明PB>PC