作业帮已知圆满足：①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:49:24
已知圆满足：①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆方程.
已知圆满足：①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆方程.
已知圆满足：①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆方程.
设圆方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (r>0)
①截y轴所得弦长为2,令x=0,
(y-b)^2=r^2-a^2
弦长2sqrt(r^2-a^2)=2
r^2-a^2=1 (1)
②被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1,即被x轴截得弦长为r*sqrt2
令y=0
(x-a)^2=r^2-b^2
2*sqrt(r^2-b^2)=r*sqrt2
4(r^2-b^2)=2r^2
b^2=1/2r^2 (2)
圆心到直线距离为d=|a-2b|/sqrt5
要距离最小,a,b需同号.
将（1）,（2）代入,有：
d=|sqrt(r^2-1)-r*sqrt2|/sqrt5=[r*sqrt2-sqrt(r^2-1)]/sqrt5
求导,取导数为0的r值：r=sqrt2
代入（1）,（2）,并且保持a,b同号,得出两组
（x-1）^2+(y-1)^2=2
或(x+1)^2+(y+1)^2=2
设圆心(x,y)半径为r
由条件2，知x轴截得的弦对应劣弧为90°
∴r^2=2y^2
由条件1.得x^2+1=r^2=2y^2
∴圆心的轨迹方程为2y^2-x^2=1
到l的距离d=|x-2y|/√5
不妨设x-2y>0，d=(x-2y)/√5={x-2√[(1+x^2)/2]}/√5
求导d'={[1-(x√2)/√(1+x^2)]/√5...
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设圆心(x,y)半径为r
由条件2，知x轴截得的弦对应劣弧为90°
∴r^2=2y^2
由条件1.得x^2+1=r^2=2y^2
∴圆心的轨迹方程为2y^2-x^2=1
到l的距离d=|x-2y|/√5
不妨设x-2y>0，d=(x-2y)/√5={x-2√[(1+x^2)/2]}/√5
求导d'={[1-(x√2)/√(1+x^2)]/√5}
令d'=0得x=1由双曲线的对称性得x=-1亦可
∴（x-1)^2+（y-1)^2=2
或(x+1)^2+(y+1)^2=2
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