已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 06:45:42
已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC

已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC
已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC

已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC
证明,设DEF,分别S在是BC,CA,AB上的垂足,D' 是AO与BC的焦点
很容易有BD^2-CD^2=SB^2-SC^2
BD-CD=(SB^2-SC^2)/BC
BD'^2-CD'^2=AB^2-AC^2=(SA^2+SB^2-SA^2-SC^2)
BD'-CD'=(SB^2-SC^2)/BC
所以DD'重合
所以 BC⊥DA,BC⊥DS
BC⊥面DAS
BC⊥SO
同理会有SO⊥AB
所以 SO⊥平面ABC