作业帮一个数分证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 06:32:21
一个数分证明题
一个数分证明题
一个数分证明题
从2点说明
1,（-1）^n说明是摆动的
2,n/(n^2+x^2)=1/(n+x^2/n)说明是单调的
即可
从2点说明
1，（-1）^n说明是摆动的
2，n/(n^2+x^2)=1/(n+x^2/n)说明是单调的
即可
没想到什么简便方法, 就是用Cauchy收敛准则, 估计部分和∑{n≤k≤n+p} (-1)^k·k/(k²+x²).
估计的要点在于相邻项相消, 具体来说:
|(-1)^k·k/(k²+x²)+(-1)^(k+1)·(k+1)/((k+1)²+x²)| = |k/(k²+x²)-(k+1)/((k+1...
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没想到什么简便方法, 就是用Cauchy收敛准则, 估计部分和∑{n≤k≤n+p} (-1)^k·k/(k²+x²).
估计的要点在于相邻项相消, 具体来说:
|(-1)^k·k/(k²+x²)+(-1)^(k+1)·(k+1)/((k+1)²+x²)| = |k/(k²+x²)-(k+1)/((k+1)²+x²)|
= |k(k+1)-x²|/((k²+x²)((k+1)²+x²)) ≤ (k(k+1)+x²)/((k²+x²)((k+1)²+x²))
< 1/(k²+x²) < 1/k².
于是将∑{n≤k≤n+p} (-1)^k·k/(k²+x²)每两项分组, 若刚好分完
|∑{n≤k≤n+p} (-1)^k·k/(k²+x²)| < 1/n²+1/(n+2)²+...+1/(n+p-1)² < 1/(n-1).
若剩下一项, |(-1)^(n+p)·(n+p)/((n+p)²+x²)| < 1/n,
于是|∑{n≤k≤n+p} (-1)^k·k/(k²+x²)| < 2/(n-1), 则当n→∞, 从n开始的部分和一致趋于0(与x无关).
由Cauchy收敛准则, 级数一致收敛(在整个实轴上).
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