作业帮f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 07:36:52
f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),
f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)
答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),
f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),
原方程可化为：
x-1 = x*( [1,x]∫t*f(t)dt) + [1,x]∫t*f(t)dt - x*( [1,x]∫f(t)dt )
=x*( [1,x]∫(t-1)*f(t)dt ) + [1,x]∫t*f(t)dt --- (1)
设 F1(t) = ∫(t-1)*f(t)dt ,F2(t) = ∫t*f(t)dt,则：
F1'(t) = (t-1)*f(t)；F2‘(t) = t*f(t)；
[1,x]∫(t-1)*f(t)dt = F1(x) - F1(1)；
[1,x]∫t*f(t)dt = F2(x) - F2(1)；
方程(1) 可写为：
x-1 = x*[F1(x) - F1(1)] + F2(x)
方程两边对x求导得：
1 = [F1(x) - F1(1)] + x*(x-1)f(x) + x*f(x)
= [F1(x) - F1(1)] + x²f(x)
方程两边继续对x求导得：
0 = (x-1)f(x) + 2x*f(x) + x²f'(x)
==> f'(x)/f(x) = (1-3x)/ x²
==> [ln f(x)]' = 1/x² - 3/x
两边积分得：
ln[f(x)] = -1/x - 3lnx + lnc
==> f(x) = e^(-1/x - 3lnx + lnc)
= c* e^(-1/x) /x³
由原积分式可知,当x=0 时,有
[1,0]∫t*f(t)dt = -1
==> [0,1]∫t*c* e^(-1/t) /t³dt = 1
==> c* [0,1]∫e^(-1/t)d(-1/t) = 1
==> c* e^(-1/t)|[0,1] =1 ==> c = e
因此：
f(x) = e* e^(-1/x) /x³
= e^(1-1/x) /x³
这要求微分方程噢，最后那个常数C是任意常数，不知道你那答案怎会是1的，要给其他条件才能找到。顺便一题，这个∫(1→x) f(t) dt是变上限积分，仍然是个函数，不能设其为常数
你令∫(上限x,下限1)f(t)dt=常数A，x-1=∫(上限x,下限1)1dt，带入，对右半边分部积分，就能解出！过程不好打，你自己写吧·