作业帮a(n+1)=(an)^2-1 a1=2 求an的通项公式 a(n+1)表示第n+1项的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 00:25:39
a(n+1)=(an)^2-1 a1=2 求an的通项公式 a(n+1)表示第n+1项的值
a(n+1)=(an)^2-1 a1=2 求an的通项公式 a(n+1)表示第n+1项的值
a(n+1)=(an)^2-1 a1=2 求an的通项公式 a(n+1)表示第n+1项的值
这个没有通项的,
a(n+1)=2(an)^2-1
这个就有通项
这是费波那契数列，通项公式为：A(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5推导过程如下：我们给出初值A(1)，A(2),和初始条件A(n+2)=A(n+1)+A(n)
则A(n+2)-pA(n+1)=q[A(n+1)-pA(n)]
比较系数可得
p+q=1,pq=-1
两者都满足方程x^2-x-1=0
令B(n)=A(n+1)-pA...
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这是费波那契数列，通项公式为：A(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5推导过程如下：我们给出初值A(1)，A(2),和初始条件A(n+2)=A(n+1)+A(n)
则A(n+2)-pA(n+1)=q[A(n+1)-pA(n)]
比较系数可得
p+q=1,pq=-1
两者都满足方程x^2-x-1=0
令B(n)=A(n+1)-pA(n), 则B(1)=A(2)-pA(1)
B(n+1)=qB(n)
B(n)=q^(n-1)B(1)
将B(n)=A(n+1)-pA(n), 代入可得
A(n+1)-pA(n)=q^(n-1)B(1)
这个可以写为
A(n+1)+sq^(n)B(1)=p[A(n)+sq^(n-1)B(1)]
比较系数可得
sp-sq=1即s=1/(p-q)
令C(n)=A(n)+sq^(n-1)B(1),则C(1)=A(1)+sB(1)
C(n+1)=pC(n)
C(n)=p^(n-1)C(1)
将C(n)=A(n)+sq^(n-1)B(1)，s=1/(p-q)代入可得
A(n)+sq^(n-1)B(1)=p^(n-1)C(1)
即A(n)=C(1)p^(n-1)+[B(1)/(q-p)]q^(n-1)
将B(1),C(1),通通代入,可得
A(n)={[A(2)-A(1)q]/(p-q)}p^(n-1)+{[A(2)-pA(1)]/(q-p)]}q^(n-1)
我们解出x^2-x-1=0的两根，分别为p=(1+√5)/2;q=(1-√5)/2
代入上式可得
A(n)={A(2)+A(1)[(√5-1)/2]}/√5*[(1+√5)/2]^(n-1)
+{A(2)-A(1)[(√5+1)/2]}/(-√5)*[(1-√5)/2]^(n-1)
我们令A(1)=1,A(2)=2
可得
A(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5
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