作业帮如图△OAB、△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°（1）如图1,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD、BC,M为线段AD的中点,求证：OM⊥BC（2）如图2,在图1的基础上,江△OCD饶点O逆时针旋转α（α为锐角）,M
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 21:08:46
如图△OAB、△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°（1）如图1,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD、BC,M为线段AD的中点,求证：OM⊥BC（2）如图2,在图1的基础上,江△OCD饶点O逆时针旋转α（α为锐角）,M
如图△OAB、△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°
（1）如图1,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD、BC,M为线段AD的中点,求证：OM⊥BC
（2）如图2,在图1的基础上,江△OCD饶点O逆时针旋转α（α为锐角）,M为线段AD的中点.
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系?写出并证明你的结论；
②OM⊥BC是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立,请说明原因.
如图△OAB、△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°（1）如图1,点C在OA边上,点D在OB边上,连接AD、BC,M为线段AD的中点,求证：OM⊥BC（2）如图2,在图1的基础上,江△OCD饶点O逆时针旋转α（α为锐角）,M
1、证明：
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形,∴OA＝OB,OD＝OC,∠AOB＝90°
∴△AOD和△BOC全等,∴∠OAD＝∠OBC,
∵M是AD中点,∴OM＝AM,∴∠OAD＝∠MOA,
∴∠OBC＝∠MOA ∵∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝90°,∴∠OBC+∠MOB＝90°
∴∠BMO＝180°-90°＝90°,∴OM⊥BC.
2、
结论：BC＝2OM.OM⊥BC.
图2、延长OM至E,使OM＝EM,连接AE,又AM＝DM,∠AME＝∠DMO
∴△AME和△DMO全等,∴AE＝DO,∠EAM＝∠ODM
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形,
∴OA＝OB,① OD＝OC,∠AOB＝∠DOC＝90°
∴AE＝OC.②
∵∠OAE＝∠OAD+∠EAM＝＝∠OAD+∠ODM＝180°-∠AOD
∠BOC＝∠AOB+∠COD-∠AOD＝90°+90°-∠AOD＝180°-∠AOD
∴∠OAE＝∠BOC,③
由①②③可得,△OAE和△BOC全等,∴OE＝BC,∠AOE＝∠OBC,
∵OE＝2OM,∴BC＝2OM.
延长BC交OE于F,∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90°,∴
∠OBC+∠BOE＝90° ∴∠BFO＝180°-90°＝90°,∴OE⊥BF
即OM⊥BC.