作业帮已知o是△ABC内一点,且OA+2OB+3OC=0(向量) 则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:08:50
已知o是△ABC内一点,且OA+2OB+3OC=0(向量) 则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比为多少
已知o是△ABC内一点,且OA+2OB+3OC=0(向量) 则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比为多少
已知o是△ABC内一点,且OA+2OB+3OC=0(向量) 则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比为多少
答案：3：2：1
分别延长OB、OC至B’、C‘,使得OB’=2OB,OC‘=3OC
因OA+2OB+3OC=0,即OA+OB’+OC‘=0,所以O为三角形ABC重心（三中线交点）
接下来证明三角形△AOB’,△AOC‘,△B’OC’面积相等：
设BC边上中线为AD,则S△ADB’=S△ADC‘,
在△BOC中亦有S△ODB’=S△ODC‘
所以S△ADB’-S△ODB’=S△ADC‘-S△ODC‘,即S△AOB’=S△AOC‘
同理可证三者两两相等
1.在△AOB’中,B为OB‘边中点,所以S△AOB=S△AOB’/2
2.在△AOC’中,C为OC‘边近O端三等分点,所以S△AOC=S△AOC’/3
3.在△B'OC'中,连BC',B为OB‘边中点,所以S△BOC'=S△B'OC‘/2
在△BOC'中,C为OC‘边近O端三等分点,所以S△BOC=S△BOC'/3=S△B'OC‘/6
因为S△AOB’=S△AOC‘=S△B’OC’
△AOB：△AOC：△BOC=S△AOB’/2：S△AOC’/3：S△B'OC‘/6=3：2：1
你可以看成正三角形的外心为O，然后按1:1/2:1/3的方式取OAOBOC，然后直接算就行了，两边相乘再乘夹角正弦，再乘0.5就好了~~
△AOB=0.5*1*1/2*sin60
△AOC=0.5*1*1/3*sin60
△BOC=0.5*1/2*1/3sin60
可以看出，比例是3:2:1
要证的话不能这样假设哈。。。O(∩_∩)O...
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你可以看成正三角形的外心为O，然后按1:1/2:1/3的方式取OAOBOC，然后直接算就行了，两边相乘再乘夹角正弦，再乘0.5就好了~~
△AOB=0.5*1*1/2*sin60
△AOC=0.5*1*1/3*sin60
△BOC=0.5*1/2*1/3sin60
可以看出，比例是3:2:1
要证的话不能这样假设哈。。。O(∩_∩)O
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