在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证：AB+BP=BQ+AQ

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 18:44:41

在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证：AB+BP=BQ+AQ
在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证：AB+BP=BQ+AQ

在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证：AB+BP=BQ+AQ
证明：
做辅助线PM‖BQ,与QC相交与M.
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线,
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角）
∴AB=AM,BP=MP
在△MPC中,∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP

全部展开

根据我们宿舍七千万的哲♂学说教，证明如下- -
首先∠qbc=∠c=40°，所以bq=qc 所以bq+aq=ac 也就是证明ab+bp=ac
然后根据正弦定理，ab/sin∠bpa=bp/∠bap 易知∠bpa=70 ∠bap=30
所以用ab表示bp，bp=ab*sin30/sin70
同理ac=absin80/sin40，用的是abc三角形的正弦定理
所以要证ab+ab*sin30/sin70=absin80/sin40
ab+ab*sin30/sin70=ab[sin(50+20)+sin(50-20)]/sin70=2ab*sin50*cos20/sin70=2ab*sin50
absin80/sin40=2abcos40sin40/sin40=2ab*cos40
cos40=sin50
所以ab+bp=ac=bq+aq 得证！

收起

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前面有朋友回复得详细呵

在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AD是△ABC的一条平分线,求∠ADC的度数如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=45°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADC的度数在△ABC中,∠BAC=70°,∠C=60°,AD是△ABC的一条角平分线,求∠ADB的度数在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm,求bc的长在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM长为15CM,求BC的长在三角形ABC中,角BAC=4角C,BD垂直AC于D,求：（1）角BAC的度数：（2）角ABD的度数在△ABC中,∠BAC=4∠C,BD垂直AC于D,求：（1）∠BAC的度数：（2）∠ABD的度数在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC于D，求：在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证：AB+BP=BQ+AQ 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,且60° 在△ABC中,∠BAC=60°,AD是角BAC的平分线,并且AC=AB=BD,求∠ABC的度数如图,在△ABC中,∠BAD=∠B,∠C=∠ADC,∠BAC=60°,求∠DAC的度数如图,在△ABC中,∠BAD=∠B,∠C=∠ADC,∠BAC=60°,求∠DAC的度数. 如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD=DC,∠B=60°,求∠C、∠BAC的度数在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,AD是BC边上的高,AB=18,求BC的长. 在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,AB=18,AD是BC边上的高,求BC的长. 在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC交CA延长线于点D,求∠DBA的度数如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD‖AC,垂足为D,求∠ABD的度数如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD垂直AD于D,求∠ABD的度数已知:如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC于D,求∠ABD的度数