海伦-秦九韶公式:.

海伦-秦九韶公式:.
海伦-秦九韶公式:.

海伦-秦九韶公式:.

原理简介

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：

  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  而公式里的p为半周长：

  p=(a+b+c)/2

  注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以

  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长.

  由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.

证明过程

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为

  cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

  S=1/2*ab*sinC

  =1/2*ab*√(1-cos^2 C)

  =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

  =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

  =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

  =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

  =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

  设p=(a+b+c)/2

  则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

  上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

  =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明（2）

  我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”.

  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.

  所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

  q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

  当P＝1时,△ 2＝q,

  △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

  因式分解得

  △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

  =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

  =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

  =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

  =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

  =p(p-a)(p-b)(p-c)

  由此可得：

  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  其中p=1/2(a+b+c)

  这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”.

  S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

  根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题：

  已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积

  这里用海伦公式的推广

  S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边）

  代入解得s=8√ 3

证明（3）

  在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

  O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长

  有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

  r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

  ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

  ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

  =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

  =ptanA/2tanB/2tanC/2

  =r

  ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

  ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

  =p(p-a)(p-b)(p-c)

  ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

  证明(4)

  通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)

编辑本段推广

  关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

  设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则

  S△ABC

  =1/2 aha

  =1/2 ab×sinC

  = r p

  = 2RsinAsinBsinC

  = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  其中,S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载.