作业帮已知椭圆X2/9+Y2/4=1直线x+2y+18=0 试在椭圆上求一点P使点P到这条直线的距离最短椭圆方程中的2指的是平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:25:41
已知椭圆X2/9+Y2/4=1直线x+2y+18=0 试在椭圆上求一点P使点P到这条直线的距离最短椭圆方程中的2指的是平方
已知椭圆X2/9+Y2/4=1直线x+2y+18=0 试在椭圆上求一点P使点P到这条直线的距离最短
椭圆方程中的2指的是平方
已知椭圆X2/9+Y2/4=1直线x+2y+18=0 试在椭圆上求一点P使点P到这条直线的距离最短椭圆方程中的2指的是平方
最短距离：13/根号5
方法：换元法
（先做一下图：看看大致的位置关系,心中有数,不过不画也无所谓）
椭圆嘛,设x=3cosa,y=2sina
点到直线的距离,书上应该有公式的
（m,n）到直线Ax+By+C=0的距离d=（Am+Bn+C)的绝对值/根号下（A平方+B平方）
所以这道题d=（3cosa+4sina+18)/根号5
=（5sinb+18）/根号5
最大值sinb=1,23/根号5
最小值sinb=-1,13/根号5
具体的点P,就是三角函数的简单运算了,即根据sinb把sina和cosa算出来就行了
这道题的做题思路是，先设一条直线这条直线与你题目中的x+2y+18=0 2y=-x-18 y=-x/2-9斜率相同，使得它与椭圆相切，求这两条直线的距离，就是P到这直线的最短距离，进而求出P。
（1）你学过微积分的话就用拉格朗日数乘法，就不多说了，直接使用
（2）否则，你要考虑找到与x+2y+18=0平行的椭圆X2/9+Y2/4=1的切线，显然会是两条，最近的点就是其中一个切点，所以你只要求出该点与直线x+2y+18=0的距离，或者直接求出该切线与直线x+2y+18=0之间的距离，这是一样的
直线x+2y+18=0的斜率为-1/2，设y=-1/2x+b，带入椭圆方程X...
全部展开
（1）你学过微积分的话就用拉格朗日数乘法，就不多说了，直接使用
（2）否则，你要考虑找到与x+2y+18=0平行的椭圆X2/9+Y2/4=1的切线，显然会是两条，最近的点就是其中一个切点，所以你只要求出该点与直线x+2y+18=0的距离，或者直接求出该切线与直线x+2y+18=0之间的距离，这是一样的
直线x+2y+18=0的斜率为-1/2，设y=-1/2x+b，带入椭圆方程X2/9+Y2/4=1，相切就是说该二元一次方程组只有唯一的根，由此解出b的值，再联立方程组
y=-1/2x+b
x+2y+18=0
解出来会是两条斜率为-1/2的该椭圆的切线的切点，其中一个到直线的距离最短
收起
这道题的做题思路是，先设一条直线这条直线与你题目中的x+2y+18=0斜率相同，使得它与椭圆相切，然后对椭圆方程求导
即：2x/9+2y*Y/4=0
得Y=-4x/9y Y表示y对x的导数 也就是切点的斜率
有-4x/9y=-1/2 又根据椭圆方程x²/9+y²/4=1
2个方程联立解得x=±9/5 y=±8/5
再由图像...
全部展开
这道题的做题思路是，先设一条直线这条直线与你题目中的x+2y+18=0斜率相同，使得它与椭圆相切，然后对椭圆方程求导
即：2x/9+2y*Y/4=0
得Y=-4x/9y Y表示y对x的导数 也就是切点的斜率
有-4x/9y=-1/2 又根据椭圆方程x²/9+y²/4=1
2个方程联立解得x=±9/5 y=±8/5
再由图像可知P（-9/5，-8/5）
收起
由图可得，所求直线方程的斜率为-1／2，设该方程为y=-1／2+b,将其与椭原方程联列求得方程（将Y用X代换）的△=0,求得b,将负的舍去（画图就知道为什么要将负的舍去）。将带入设的方程，再将其与椭圆方程联列解得两个相同的x,再将其带入椭圆方程解得该点坐标，用点与线的距离公式求得最短距离。...
全部展开
由图可得，所求直线方程的斜率为-1／2，设该方程为y=-1／2+b,将其与椭原方程联列求得方程（将Y用X代换）的△=0,求得b,将负的舍去（画图就知道为什么要将负的舍去）。将带入设的方程，再将其与椭圆方程联列解得两个相同的x,再将其带入椭圆方程解得该点坐标，用点与线的距离公式求得最短距离。
收起