已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形.请探求∠ABC与∠C之间的关系(题目就没图,可能有多解)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 06:09:56

已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形.请探求∠ABC与∠C之间的关系(题目就没图,可能有多解)
已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形.请探求∠ABC与∠C之间的关系(题目就没图,可能有多解)

已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形.请探求∠ABC与∠C之间的关系(题目就没图,可能有多解)
∠C < 45° ∠ABC = 180°-3∠C
证明:
设过b的直线交ac与d
∠adb=2∠c
所以∠abd=180°-4∠c
故∠abc=180°-4∠c + ∠c=180°-3 ∠c
又∠c < ∠abc
解得∠c < 45°
由于△CBD是等腰三角形,那先确定是哪两条边相等.设过B的直线交AC于D.因为BC≠BD（如果他们相等的话,则∠BAC比∠C还小,于题设矛盾）,所以BD=CD.
1,假设AB=BD.那么∠A=∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C.
利用∠A+∠C+∠ABC=2∠C+∠C+∠ABC=180°
所以∠ABC+3∠C=180°
2,假设BD=AD.则DB=DC=DA,所以△ABC是Rt△,从而可以得到∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意角（因为要求∠C是最小的角）.
设过B的直线交AC于D,
因为∠C是其最小的内角
所以∠ADC＞∠B≥∠C
所以令∠C=∠CAD=α,(DA=DC)
则∠ADB=2α
分两种情况
（1）令∠B=∠ADB=2α,(AD=AB)
4α＜180°,α＜45°
∠ABC=180°-3α＞45°
所以,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形
∠ABC与∠C之间的关系是∠C＜45°＜∠ABC
（2）令∠DBA=∠ADB=2α,(AB=AD)
∠A=180°-4α≥α,
解得α≤36°
所以,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形
∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC=3∠C≤108°
【注,若已知△ABC为等腰三角形会更有意义.如：
（1）BA=BC,当∠ABC=2∠C=90°,∠ABC的的平分线AD,可把这个三角形分割成了两个等腰直角三角形,其中DA=DB=DC；
（2）CA=CB,当∠ABC=2∠C=72°,∠ABC的的平分线AD,可把这个三角形分割成了两个等腰三角形,其中DC=DB=BC；
（3）BA=BC,∠ABC=3∠C=108°,过顶点B的三等分∠ABC的一条直线AD,可把这个三角形分割成了两个等腰三角形,其中DC=DB,AD=AB；
（4）CA=CB,∠ABC=3∠C=（3*180/7）°,过顶点B的三等分∠ABC的一条直线AD,可把这个三角形分割成了两个等腰三角形,其中DC=DB,BD=BA.】