神奇的五位数,N是由5个非零数字组成的五位数,且N等于这5个数字中取3 个不同数字构成的所有三位数的和,求

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 01:51:44

神奇的五位数,N是由5个非零数字组成的五位数,且N等于这5个数字中取3 个不同数字构成的所有三位数的和,求
神奇的五位数,N是由5个非零数字组成的五位数,且N等于这5个数字中取3 个不同数字构成的所有三位数的和,求

神奇的五位数,N是由5个非零数字组成的五位数,且N等于这5个数字中取3 个不同数字构成的所有三位数的和,求
设5位数【ABCDE】.
根据题意,即
【ABC】+【ACB】+【BAC】+【BCA】+【CAB】+【CBA】 + …… = 【ABCDE】
亦即：
444×(A + B + C + D + E) = 【ABCDE】
等号左边含因数3,显然【ABCDE】能被3整除,即A + B + C + D + E能被3整除.
推得等号左边含因数9,【ABCDE】能被9整除,A + B + C + D + E能被9整除.
因10000 ÷ 444 ≈ 22.5,所以A + B + C + D + E是大于22、小于等于45的被9整除的数.
设A + B + C + D + E = 9T 【3≤T≤5的整数】
代入T = 3、4、5,验算对应的【ABCDE】为11988、15984、19980,仅11988符合.
综上,这个五位数是11988

全部展开

先说明一个概念
比如三个不同的非零数字a,b,c组成三位数
可有，abc,acb,bac,bca,cab,cba六个
和为，2*100a+2*100b+2*100c+2*10a+2*10b+2*10c+2*a+2*b+2*c
=2*111*(a+b+c)
也就是abc+bca+cab=aaa+bbb+ccc=111*(a+b+c)
用公式可以表达为：
三个数字组成三位数共有排列数P(3,3)=6个
共用了6*3=18个数字
每个数字在每位数字上共用了18/(3*3)=P(3,3)/3=2
所以，和为2*111*(a+b+c)
对于本题，设该数为t，由于是五位数，如果只有三个不同数字显然不成立
因为其和为t=2*111*(a+b+c)≤2*111*(7+8+9)=5994，不能成立
故只有至少有四个不同数字
1，当有四个不同数字时，设为a,b,c,d且其中万位为a。
每个数字在每位数字上共用了P(4,3)/4=6
和为t=6*111*(a+b+c+d)
由于t≤6*111*(6+7+8+9)=19980
所以，a=1，此时t≤6*111*(1+7+8+9)=16650
故这个五位数是666的整数倍，小于16650，含四个不同数字且不含零。
只有一个，15318，代入检验可知不成立。
2，当有五个不同数字时，设从万到个位为abcde。
每个数字在每位数字上共用了P(5,3)/5=12
和为t=12*111*(a+b+c+d+e)
即各位数字之和的1332倍等于该数字。
1332*(a+b+c+d+e)
=10000a+1000b+100c+10d+e
=(a+b+c+d+e)+9999a+999b+99c+9d
所以，1331*(a+b+c+d+e)=9999a+999b+99c+9d
(a+b+c+d+e)必须是9的倍数。
又因为
15=(1+2+3+4+5)≤(a+b+c+d+e)≤(5+6+7+8+9)=35
所以，各数字之和只能为18或27
当(a+b+c+d+e)和为18时，为23976不符合题意
当(a+b+c+d+e)和为27时，为35964恰好满足题意。

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