对数函数的极限 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)]/x

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 16:57:16
对数函数的极限 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)]/x

对数函数的极限 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)]/x
对数函数的极限 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)]/x

对数函数的极限 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)]/x
ln(1+x)-ln(1-x)=ln[(1+x)/(1-x)]=ln[1+2x/(1-x)]
x→0,等价无穷小代换
ln[1+2x/(1-x)] ~ 2x/(1-x)
lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)]/x
=lim(x→0) 2x/(1-x)x
=2

TAYLOR展开:
ln(1+x)=1+x+O(x^2)
ln(1-x)=1-x+O(x^2)
(O表示和括号里的值同量级的量)
所以该式结果为lim((2*x+O(x^2))/x)=lim(2+O(x))=2 (x->0)