作业帮已知平面阿尔法外同侧的两点A B 到平面阿尔法距离为1和2 ,A B 两点在平面阿尔法内的射影之比根号3 直线A B和平面阿尔法所成的角
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 20:48:26
已知平面阿尔法外同侧的两点A B 到平面阿尔法距离为1和2 ,A B 两点在平面阿尔法内的射影之比根号3 直线A B和平面阿尔法所成的角
已知平面阿尔法外同侧的两点A B 到平面阿尔法距离为1和2 ,A B 两点在平面阿尔法内的射影之比
根号3 直线A B和平面阿尔法所成的角
已知平面阿尔法外同侧的两点A B 到平面阿尔法距离为1和2 ,A B 两点在平面阿尔法内的射影之比根号3 直线A B和平面阿尔法所成的角
两点A B 到平面阿尔法距离之差为1
射影之比根号3
直线A B和平面阿尔法所成为a
taba=(距离之差)/(射影之比)=√3/3 a=30°
设A、B两点在平面α内的射影分别为A'、B'，直线AB交平面α于点O。
则有：AA' = 1 ，BB' = 2 ，A'B' = √3 ，∠AOA' 就是直线AB和平面α所成的角；
因为，在△AOA'和△BOB'中，∠AOA' = ∠BOB' ，∠AA'O = 90°= ∠BB'O ，
所以，△AOA' ∽ △BOB' ，可得：OA'/OB' = AA'/BB' = 1/2 ...
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设A、B两点在平面α内的射影分别为A'、B'，直线AB交平面α于点O。
则有：AA' = 1 ，BB' = 2 ，A'B' = √3 ，∠AOA' 就是直线AB和平面α所成的角；
因为，在△AOA'和△BOB'中，∠AOA' = ∠BOB' ，∠AA'O = 90°= ∠BB'O ，
所以，△AOA' ∽ △BOB' ，可得：OA'/OB' = AA'/BB' = 1/2 ；
分两种情况讨论：
①
若A、B两点在平面α的同侧，则点O在线段B'A'的延长线上，
可得：OA'/A'B' = OA'/(OB'-OA') = 1/(2-1) = 1 ，
则有：OA' = A'B' = √3 ，
因为，tan∠AOA' = AA'/OA' = √3/3 ，
所以，∠AOA' = 30°；
②
若A、B两点在平面α的两侧，则点O在线段A'B'上，
可得：OA'/A'B' = OA'/(OA'+OB') = 1/(1+2) = 1/3 ，
则有：OA' = A'B'/3 = √3/3 ，
因为，tan∠AOA' = AA'/OA' = √3 ，
所以，∠AOA' = 60°；
综上可得：
直线AB和平面α所成的角为 30°或 60°。
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