作业帮已知X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0,求X+Y的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:21:03
已知X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0,求X+Y的最小值.
已知X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0,求X+Y的最小值.
已知X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0,求X+Y的最小值.
X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0
所以
xy-2x-8y=0
(x-8)(y-2)=16
根号下[(x-8)(y-2)]=4
由定理
(x-y)^2=x^2+y^2-2xy>=0
所以
x^2+y^2>=2xy
所以
(x-8)+(y-2)>=2*根号下[(x-8)(y-2)]==8
x+y-10>=8
x+y>=18
已知x、y∈+R，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。
可以设K=x+y，则得：y=K-x，代入已知得
2x+8(K-x)-x(K-x)=0
整理，得：
x²-(K+6)x+8K=0
由于存在正数x，使得上述方程成立，所以其判别式必定是非负数，即：
△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
K²+...
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已知x、y∈+R，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。
可以设K=x+y，则得：y=K-x，代入已知得
2x+8(K-x)-x(K-x)=0
整理，得：
x²-(K+6)x+8K=0
由于存在正数x，使得上述方程成立，所以其判别式必定是非负数，即：
△=[-(K+6)]²-4×8K≥0
K²+12K+36-32k≥0
K²-20K+36≥0
(K-2)(K-18)≥0·············①
因x、y均为正数，所以再由2x+8y-xy=0得：2(x+y)=xy-6y=y(x-6)>0，即：x-6>0，得：x>6，所以K=x+y>6，K-2>0；
则不等式①解只能是：K≥18，所以x+y的最小值为18。
此时求得：x=12，y=6。
还有一种更简单的方法：利用均值不等式的方法，可以参考：
http://zhidao.baidu.com/question/17921338.html?fr=qrl3
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