作业帮已知正实数,a+b+c=1,求证 (a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=1000/27
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:45:01
已知正实数,a+b+c=1,求证 (a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=1000/27
已知正实数,a+b+c=1,求证 (a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=1000/27
已知正实数,a+b+c=1,求证 (a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=1000/27
[1]
不妨设a≥b≥c＞0.
由题设a+b+c=1及a,b,c均为正数易知,
0＜c≤b≤a＜1,且0＜c≤1/3
[2]
构造函数f(x)=x+(1/x).0＜x＜1
易知,该函数在(0,1)上递减
由0＜c≤b≤a＜1可知
0＜f(c)≤f(b)≤f(a),即
∴f(a)*f(b)*f(c)≥f³(c)＞0
即(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(c+1/c)³
[[3]]
∵函数f(x)=x+(1/x)在(0,1/3]上递减.
∴结合c∈(0,1/3]可知,恒有
f(c)≥f(1/3)=3+(1/3)=10/3
∴f³(c)≥(10/3)³=1000/27
综上可知.
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥1000/27
a+b+c=1≥3(abc)^1/3
abc≤1/27 1/abc≥27
(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)
=1/a+1/b+1/c+1/ab+1/bc+1/ac+1+1/abc≥3(1/abc)^1/3+3
(1/abc)^2/3+1/abc+1=64 >=1000/27不好意思 我的题目是(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=100...
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a+b+c=1≥3(abc)^1/3
abc≤1/27 1/abc≥27
(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)
=1/a+1/b+1/c+1/ab+1/bc+1/ac+1+1/abc≥3(1/abc)^1/3+3
(1/abc)^2/3+1/abc+1=64 >=1000/27
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