AAT=A^2 成立吗?在什么条件下成立T是矩阵的转置

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 15:15:44

AAT=A^2 成立吗?在什么条件下成立T是矩阵的转置
AAT=A^2 成立吗?在什么条件下成立
T是矩阵的转置

AAT=A^2 成立吗?在什么条件下成立T是矩阵的转置
这是个定理：
A A^T = A^2,当且仅当 A 是对称矩阵.
必要性是显然的.A 对称,则：A^T = A,所以 A A^T = A^2
充分性.
任何一个矩阵 A,都可以写成一个对称阵和一个反对称阵的和,也就是：
A = H + K
其中,H = (A + A^T) / 2 是对称矩阵,K = (A - A^T) / 2 是反对称矩阵.
A^T = (H + K)^T = H - K,代入：A A^T = A^2
(H + K) (H - K) = (H + K) (H + K)
化简得到：HK = -K^2
有个叫：Frobenius 内积的东西,定义是：X,Y 是2个矩阵,则：
= (X 和 Y 的 n*n 个一一对应的元素相乘,再求和)
又可以写成：= tr(X^T Y),其中 tr() 是矩阵的迹（对角线元素的和）.
是个内积,也就是 = 0 当且仅当 X = 0.
再回到我们的问题：HK = -K^2
因为 H 对称,K 反对称,所以：H^T K = K^T K
所以：tr(H^T K) = tr(K^T K)
所以：=
因为 H 对称,K 反对称,所以对应元素相乘并求和的话,应该是 0.
所以：= 0,也就是：= 0
所以：K = 0
所以：A = H + K = H 是个对称矩阵.
BTW：关于充分性的证明,如果 A 是可逆的,则很简单就能证出来.
将 A A^T = A^2 同时左乘 A^(-1) 即可.

AAT=A^2 A逆AAT=A逆A^2 A逆AT= A逆A T=单位矩阵

AAT=A^2 在什么条件下成立 AAT=A^2 成立吗?在什么条件下成立T是矩阵的转置概率+运气=成功这个公式成立吗? 或在什么条件下成立对于有理数ab,|a|+|b|=|a|+|b|一定成立吗?如果一定成立,请说明理由;如果不一定成立,请问在什么条件下该等式成立?打错了，是|a+b|=|a|+|b| (a^m)n=(a^n)^m 此式在任何条件下都成立吗? E=mc^2在什么条件下成立?适用于什么样的物质? 马克思哲学论证题目心想事成在什么条件下成立?什么条件下不成立? (a+1)x=(a+1)m,若x=m,那么在什么条件下等式才能成立? 边边角什么条件下成立? 能量守恒定律真的在什么条件下都成立吗?质量守恒定律的成立是有条件的-核反应条件下除外如果能量守恒定律在什么条件下都成立,那么也就是说宇宙中永远存在着能量,不管以什么形式存在欧姆定律是在什么条件下才成立?为什么? 1.有一张圆形铁片,面积为9/4π m^2,你能计算它的半径吗?2.在什么条件下,√a^2=(√a)^2一定成立?3.求0.1^-2的平方根(过程!) │x+y│=│x│+│y│在什么条件下等式成立下列各式在什么条件下成立（1）a的绝对值=a（2）a的绝对值=-a（3）a的绝对值分之a=1 （4）a的绝对值分之a “化学守恒定律”永远成立吗?是在任何条件下,都能成立吗? 已知向量a,向量吧,在什么条件下,下列式子成立（1）|向量a+向量b|>|向量a-向量b|（2）|向量a+向量b|=|向量a-向量b|（3）|向量a+向量b| 等式a-2=b-2成立么?成立的条件是什么?根据什么?1/1+x^2=0成立吗?为什么? 由等式m(a+1)=x(a+1)得到m=x时,需要在什么条件下,才能使其成立?