作业帮微积分 (sinx的平方除以cosx的五次方)的反导函数等于什么原式是 dy/dx = (secx)^3 * (tanx)^2 求f(x),也就是dy/dx的antiderivative
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 00:51:32
微积分 (sinx的平方除以cosx的五次方)的反导函数等于什么原式是 dy/dx = (secx)^3 * (tanx)^2 求f(x),也就是dy/dx的antiderivative
微积分 (sinx的平方除以cosx的五次方)的反导函数等于什么
原式是 dy/dx = (secx)^3 * (tanx)^2
求f(x),也就是dy/dx的antiderivative
微积分 (sinx的平方除以cosx的五次方)的反导函数等于什么原式是 dy/dx = (secx)^3 * (tanx)^2 求f(x),也就是dy/dx的antiderivative
∫(sinx)^2/(cosx)^5 dx
=∫[1-(cosx)^2]/(cosx)^5dx
=∫[(secx)^5-(secx)^3]dx
=∫[(secx)^5]dx-∫[(secx)^3]dx .（1）
由∫secxdx=ln|secx+tanx|+C1
故 ∫[(secx)^3]dx
=∫secxd(tanx)
=secx·tanx-∫[(tanx)^2·secx]dx
=secx·tanx-∫{[(secx)^2 -1]·secx}dx
=secx·tanx-∫(secx)^3 dx+∫secx dx
=secx·tanx-∫(secx)^3 dx+ln|secx+tanx|+C1
∴∫[(secx)^3]dx =(1/2)secx·tanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
同理可求 ∫[(secx)^5]dx
∫[(secx)^5]dx
=∫[(secx)^3]d(tanx)
=(secx)^3·(tanx)-∫[3(tanx)^2·(secx)^3]dx
=(secx)^3·(tanx)-3∫{[(secx)^2 -1]·(secx)^3}dx
=(secx)^3·(tanx)-3∫[(secx)^5]dx+3∫[(secx)^3]dx
∴∫[(secx)^5]dx=(1/4)(secx)^3·(tanx)+(3/4)∫[(secx)^3]dx
代入(1)即得
∫(sinx)^2/(cosx)^5 dx
=∫[(secx)^5]dx-∫[(secx)^3]dx
=(1/4)(secx)^3·(tanx)+(3/4)∫[(secx)^3]dx-∫[(secx)^3]dx
=(1/4)(secx)^3·(tanx)-(1/4)∫[(secx)^3]dx
=(1/4)(secx)^3·(tanx)-(1/8)secx·tanx-(1/8)ln|secx+tanx|+C
dy/dx的反导函数=-1/(dy/dx)=-(cosx)^5/(sinx)^2=-(ctanx)^2*(cosx)^3
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