作业帮已知f(xy)=f(x)+f(y) 求证f(x)=logaX
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:46:37
已知f(xy)=f(x)+f(y) 求证f(x)=logaX
已知f(xy)=f(x)+f(y) 求证f(x)=logaX
已知f(xy)=f(x)+f(y) 求证f(x)=logaX
这个性质是从实际对数抽象出来的性质,可称为对数性质,与其相对应的有指数性质,线性性质,三角函数性质.
证明：已知f(xy)=f(x)+f(y)且f(a)=1.
f(1)=f(1)+f(1)可知f(1)=0.
当n为自然数时,f(a^n)=f(a)+f(a^n-1)=1+f(a^n-1)=...=n(递推关系).
当n为负整数时,由f(1)=f(a*(1/a))=f(a)+f(1/a)=0 可得f(1/a)=-1,由于上述类似的递推关系可知,f(a^-n)=-n.即当n为整数时,函数f(x)的值与logaX完全对应.
当n为有理数时（有理数均可表示为两个整数相除,证略,可百度）,另n=c/d,其中c,d为整数.
f([a^(c/d)]^d)=f(a^(c/d))+f(a^(c/d))+...+f(a^(c/d))(共d个)=d*f(a^(c/d))=f(a^c)=c
即f(a^(c/d)）=c/d.即当n为有理数时,函数f(x)的值与logaX完全对应.
当f(a^n)中的n为无理数时,可采用逼近法.取n的前若干位小数（如根号2取1.414）,找到比它稍小的和稍大的数e,f（显然可以找到,如1.415和1.413）,则f(a^e)=e,f(a^f)=f,由于n不管多少位均可找到相应的e,f,所以当位数趋于无穷大时,f(a^e)=f(a^n)=f(a^f),e=f=n.[由于本身a^n,n为无理数就是为了使指数函数连续而逼近出来的,此处也进行了逼近].即n为任意数时,f(a^n)=n.
而a^n>0,即对于所有大于0的实数,函数f(x)的值与logaX完全对应.即f(x)=logaX.
实际上,对数性质所对应的并不是对数,可以证明,它应该是当x>0时为对数函数的一个偶函数.
证明：由题意得：
f(x)=f(xy)-f(y)=logaxy-logay=logax+logay-logay=logax
这道题主要是logaxy=logax+logay这个公式得应用谢谢您的帮助，不过我想要证f(xy)=f(x)+f(y) 是f(x)=logaX的充要条件 您的证法好像只证明了必要性证明：由题意得： 假设f(x)=logax成立，则 f(x)=logax ...
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证明：由题意得：
f(x)=f(xy)-f(y)=logaxy-logay=logax+logay-logay=logax
这道题主要是logaxy=logax+logay这个公式得应用
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f(xY)=loga(XY）=loga(X）+loga(y）=f(x)+f(y) ；
所以f(x)=logaX满足f(xy)=f(x)+f(y)谢谢您的帮助，不过我想要证f(xy)=f(x)+f(y) 是f(x)=logaX的充要条件 您的证法好像只证明了必要性这本来就是必要性，f(x)=logaX满足f(xy)=f(x)+f(y) ， 但满足f(xy)=f(x)+f(y)不一定只有f(...
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f(xY)=loga(XY）=loga(X）+loga(y）=f(x)+f(y) ；
所以f(x)=logaX满足f(xy)=f(x)+f(y)
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