利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 15:36:50

利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2
利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2

利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2
首先,证明函数的单调性,设x2>x1>4
f1(x)=2^x
f1(x2)-f1(x1)=2^x2-2^x1=2^x1(2^x2/2^x1-1)=2^x1*[2^(x2-x1)-1]
因为x2>x1>4,所以2^(x2-x1)>2^0=1
则 f1(x2)-f1(x1)>0,函数f1(x)=2^x 在x>4时为单调增函数,最小值为2^4=16
再设f2(x)=x^2,
f2(x2)-f2(x1)=x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)
因为x2>x1>4,所以x2-x1>0
f2(x2)-f2(x1)>0,函数f2(x)=x^2 在x>4时也为单调增函数,最小值为4^2=16
分别对f1(x)和f2(x)求导,得
f1'(x)=2^xln2
f2'(x)=2x
同上述方法,也可证明f1'(x)=2^xln2,f2'(x)=2x在x>4时也是单调增函数,
f1'(x)最小值为16ln2>f2'(x)的最小值8
但为证明上述导数在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x),需再对上述导数求导得
f1''(x)=2^xln2^2,f2''(x)=2
同上述方法,也可证明f1''(x)=2^xln2^2在x>4时也是单调增函数,最小值为16ln2^2> f2''(x)=2
倒推回去,则在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x).
则f1(x)>f2(x)也在整个x>4区间都成立.

利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2 函数的最值与导数利用函数的单调性,证明不等式.lnX 导数的应用：利用函数单调性证明下列不等式利用函数的单调性证明下列不等式. 利用求导及函数的单调性证明下列不等式利用函数的单调性,凹凸性等证明不等式. 利用函数单调性证明不等式, 利用函数单调性证明不等式, 函数的最值与导数利用函数的单调性,证明不等式.e^x>1+x,x不等于0 利用函数的单调性证明不等式的步骤如Sinx 利用函数的单调性,证明下列不等式（1）sinx 利用下列函数的单调性,证明不等式1.e×>1+x,x不等于02.1nx 利用函数单调性,证明下列不等式 (2)e的x次方＞x+1 利用函数的单调性证明下列不等式1.e×>1+x,x不等于02.Lnx 利用双勾函数的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? 利用函数的单调性证明不等式用函数的单调性证明 X-X^2>0,X∈(0,1) 利用定义判断或证明函数单调性的步骤.