已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)1.用tanα表示tanβ2.求tanβ的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/08 12:21:12
已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)1.用tanα表示tanβ2.求tanβ的最大值

已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)1.用tanα表示tanβ2.求tanβ的最大值
已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)
1.用tanα表示tanβ
2.求tanβ的最大值

已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)1.用tanα表示tanβ2.求tanβ的最大值
1.∵sinβ=sinαcos(α+β)
∴sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴sinβ=sinαcosαcosβ-sin^2αsinβ
∴sinβ(1+sin^2α)=sinαcosαcosβ.两边除以cosβ
∴tanβ=(sinαcosα)/(1+sin^2α).分数线上下除以cos^2α
∴tanβ=tanα/((1/cos^2α)+tan^2α)
∴tanβ=tanα/(sec^2α+tan^2α)
∴tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
综上所述:tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
2.∵α∈(0,π/2)
∴tanα∈(0,+∞)
∵ tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
∴tanα=1/((1/tanα)+2tanα)
设A=(1/tanα)+2tanα
∴A=(1/tanα)+2tanα≥2(√(2tanα (1/tanα)))=2√2
当且仅当1/tanα=2tanα 时取等号,即tanα=(√2)/2
∵α∈(0,π/2)
即α=π/4时取等号
∴1/A≤(√2)/4
即tanβ≤(√2)/4
综上所述:当α=π/4时tanβ取最大值,最大值为(√2)/4