若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x^2+y^2+8x+2y+1=0,则1/a+4/b 的最小值为多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 14:51:22
若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x^2+y^2+8x+2y+1=0,则1/a+4/b 的最小值为多少?

若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x^2+y^2+8x+2y+1=0,则1/a+4/b 的最小值为多少?
若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x^2+y^2+8x+2y+1=0,则1/a+4/b 的最小值为多少?

若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x^2+y^2+8x+2y+1=0,则1/a+4/b 的最小值为多少?
由于直线平分圆,因此直线过该圆圆心O(-4,-1).将其代入直线得:4a+b=1.所求值可化为(4a+b)原式=8+16a/b+b/a题设有a,b大于0,上式可由简单不等式知最小值是16,此时a=1/8,b=1/2

(x+4)²+(y+1)²=16
圆心(-4,-1)
平分则直线就是直径,过圆心
所以-4a-b+1=0
4a+b=1
1/a+4/b
=(1/a+4/b)(4a+b)
=8+(b/a+16a/b)
a>0,b>0
所以8+(b/a+16a/b)≥8+2√(b/a*16a/b)=8+8=16
所以最小值=16