作业帮在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中（1）求多面体ABCPM的体积；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 04:10:07
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中（1）求多面体ABCPM的体积；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中
（1）求多面体ABCPM的体积；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC-45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中（1）求多面体ABCPM的体积；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
第一个问题：
∵ABCD是平行四边形,∴ABCD的面积＝2△ACD的面积.
∵AD＝AC＝1,∴∠ACD＝∠ADC＝45°,∴AD⊥AC,
∴△ACD的面积＝（1/2）AD×AC＝（1/2）×1×1＝1/2,∴ABCD的面积＝1.
∴P－ABCD的体积＝（1/3）ABCD的面积×PO＝（1/3）×1×2＝2/3.
∵M是PD有中点,∴M到平面ABCD的距离＝P到ABCD的距离的一半＝PO/2＝1,
∴M－ACD的体积＝（1/3）△ACD的面积×1＝（1/3）×（1/2）＝1/6.
∴ABCPM的体积＝（P－ABCD的体积）－（M－ACD的体积）＝2/3－1/6＝1/2.
第二个问题：
令DO的中点为N.
∵M、N分别是PD、DO的中点,∴MN是△PDO的中位线,∴MN∥PO,而PO⊥平面ABCD,
∴MN⊥平面ABCD,∴∠MAN为AM与平面ABCD所成的角.
∵AD⊥AO、DN＝ON,∴AN＝DO/2.
由勾股定理,有：DO＝√（AD^2＋AO^2）＝√（1＋1/4）＝√5/2,∴AN＝√5/4.
又MN＝PO/2＝1.
∴tan∠MAN＝MN/AN＝1/（√5/4）＝4√5/5.
∴AM与平面ABCD所成角的正切值为 4√5/5.