初三圆的几何难题如图,AC,BD为圆O的两条切线,切点为A,B, E在弧AB上,圆周角∠AEB=∠C,求证：（1）∠C=∠D. （2）AC=BD

初三圆的几何难题如图,AC,BD为圆O的两条切线,切点为A,B, E在弧AB上,圆周角∠AEB=∠C,求证：（1）∠C=∠D. （2）AC=BD
初三圆的几何难题
如图,AC,BD为圆O的两条切线,切点为A,B, E在弧AB上,圆周角∠AEB=∠C,求证：（1）∠C=∠D. （2）AC=BD

初三圆的几何难题如图,AC,BD为圆O的两条切线,切点为A,B, E在弧AB上,圆周角∠AEB=∠C,求证：（1）∠C=∠D. （2）AC=BD
(1)连接AB,则角CAE=ABE,DBE=BAE,弦切角定理,再由内角和定理和角E=C,可得C=D
(2)由上题可知,角ACE+AEB+C=180,故而AB平行于CD,又角C=D,故AC=BD,等腰梯形

(1)
延长AE交CD于F,连接AB,延长CA,DB交于G,
圆周角∠AEB=∠C,
圆周角∠EBA=圆周角∠CAF,[等弧对等角]
所以∠AFC=180度-∠CAF-∠C=180度-∠EBA-∠AEB=∠EAB,
故AB‖CD,[内错角相等,两条直线平行]
因此∠D=∠GBA,[同位角]
∠GBA=∠AEB,[等弧对等角]
∠D=∠...

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(1)
延长AE交CD于F,连接AB,延长CA,DB交于G,
圆周角∠AEB=∠C,
圆周角∠EBA=圆周角∠CAF,[等弧对等角]
所以∠AFC=180度-∠CAF-∠C=180度-∠EBA-∠AEB=∠EAB,
故AB‖CD,[内错角相等,两条直线平行]
因此∠D=∠GBA,[同位角]
∠GBA=∠AEB,[等弧对等角]
∠D=∠AEB=∠C,
所以∠C=∠D.
(2)
∠C=∠D.
三角形GCD为等腰三角形,GC=GD,
连接OA,OB,GO,
∠GAO=∠GBO=90度,AO=BO,GO=GO,
GA²=GO²-AO²=GO²-BO²=GB²
GA=GB
AC=GC-GA=GD-GB=BD,[GC=GD,GA=GB]
所以AC=BC

收起

1）连接AB 并延长DB、CA交F 圆弧对映的两个圆周交相等即∠C等于∠FCB=∠FBA=∠AEB 推出 AB平行CD推出∠FBA=∠D推出结论！
2）由1）推出ABDC是等腰梯形 直接推出结论！