作业帮已知椭圆c:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方的离心率为根号6/3且经过点(5/2,1/2) (1)求椭圆的方程(2)过点P(O,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求三角形AOB(O为原点)面积的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 20:11:26
已知椭圆c:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方的离心率为根号6/3且经过点(5/2,1/2) (1)求椭圆的方程(2)过点P(O,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求三角形AOB(O为原点)面积的最大值.
已知椭圆c:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方的离心率为根号6/3且经过点(5/2,1/2) (1)求椭圆的方程(2)过点
P(O,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求三角形AOB(O为原点)面积的最大值.
已知椭圆c:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方的离心率为根号6/3且经过点(5/2,1/2) (1)求椭圆的方程(2)过点P(O,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求三角形AOB(O为原点)面积的最大值.
（1）e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2=6/9=2/3 ,
因此 a^2=3b^2 ,----------------①
又椭圆过点（5/2,1/2）,因此 25/(4a^2)+1/(4b^2)=1 ,-------------②
由以上两式解得 a^2=7 ,b^2=7/3 ,
所以,椭圆方程为 x^2/7+y^2/(7/3)=1 .
（2）设 AB 方程为 y=kx+2 ,代入椭圆方程得 x^2/7+(kx+2)^2/(7/3)=1 ,
化简得 (3k^2+1)x^2+12kx+5=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2= -12k/(3k^2+1) ,x1*x2=5/(3k^2+1) ,
由于 x1*x2>0 ,
因此 SAOB=1/2*|OP|*|x2-x1|=|x2-x1|=√[(x1+x2)^2-4x1x2] ,
由于 (x1+x2)^2-4x1x2=144k^2/(3k^2+1)^2-20/(3k^2+1)=(84k^2-20)/(3k^2+1)^2 ,
当 k=±0.9 时,(x1+x2)^2-4x1x2 有最大值为4 ,
因此三角形 AOB 面积最大值为 2 .（计算可能有出入,但方法与步骤就是这样）