求函数f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 05:56:17

求函数f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值
求函数f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值

求函数f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值
f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx
=sin^2 x +cos^2 x+2sinxcosx+sinx+cosx+1
=(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+1
令u=sinx+cosx
=√2·[(√2/2)·sinx+(√2/2)·cosx]
=√2·[cos(π/4)·sinx+sin(π/4)·cosx]
=√2·sin(x+π/4).
∵-1≤sin(x+π/4)≤1,
∴－√2≤√2·sin(x+π/4)≤√2
即u∈[-√2,√2].
则f(x)=(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+1
=u^2+u+1.
令其等于F(u),即
F(u)=u^2+u+1
=(u+1/2)^2 +3/4
是一个关于u的二次函数;定义域为u∈[-√2,√2].
通过比较分析可知,其
最小值为f(x1)=F(-1/2)=3/4;
最大值为f(x2)=F(√2)=(√2)^2+√2+1=3+√2.

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