在满足方程(x-2)^2+(y-2)^2=2的所有实数对(x,y)中,xy的最大值为

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 09:31:34
在满足方程(x-2)^2+(y-2)^2=2的所有实数对(x,y)中,xy的最大值为

在满足方程(x-2)^2+(y-2)^2=2的所有实数对(x,y)中,xy的最大值为
在满足方程(x-2)^2+(y-2)^2=2的所有实数对(x,y)中,xy的最大值为

在满足方程(x-2)^2+(y-2)^2=2的所有实数对(x,y)中,xy的最大值为
解析：开始是三角换元,再是代数换元,注意换元的等价性.
由(x-2)^2+(y-2)^2=2
设（x-2)/√2=cosa,(y-2）/√2=sina,
得x=2+√2cosa,y=2+√2sina
则xy=（2+√2cosa）（2+√2sina)
=4+2√2(sina+cosa)+2sinacosa
设sina+cosa =t=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
xy=4 + 2√2t + t^2-1=(t +√2)^2+1,t∈[-√2,√2]
所以t=√2 时,xy取得最大值9

令 x-2=(sqrt)2cost ((sqrt)指根号)
y-2=(sqrt)2sint （0<=t<2(Pi)） ((Pi)指圆周率的那个）
则xy=((sqrt)2cost+2)((sqrt)2sint+2)
=2sintcost+2(sqrt)2cost+2(sqrt)2sint+4
=sin2t+4sin(t+(Pi)/4)+4
当t=(Pi)/4时，sin2t，sin(t+(Pi)/4)同时取得最大
则此时，(xy)max=9

设m=x-2，n=y-2 所以m^2+n^2=2，则mn=<1,m+n=<2,当且仅当m=n=1时取等号
所以xy=（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=<1+2*2+4=9

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