作业帮如图,Rt△ABC中,角C=90°,点D是AC的中心,且角A+角CDB=90°,过点A,D作圆O,使圆心O在AB上,圆O与AB交点E1.求证：直线BD与圆O相切2.若AD：AE=4:5,BC=6,求圆O的直径
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:54:52
如图,Rt△ABC中,角C=90°,点D是AC的中心,且角A+角CDB=90°,过点A,D作圆O,使圆心O在AB上,圆O与AB交点E1.求证：直线BD与圆O相切2.若AD：AE=4:5,BC=6,求圆O的直径
如图,Rt△ABC中,角C=90°,点D是AC的中心,且角A+角CDB=90°,过点A,D作圆O,使圆心O在AB上,圆O与AB交
点E
1.求证：直线BD与圆O相切
2.若AD：AE=4:5,BC=6,求圆O的直径
如图,Rt△ABC中,角C=90°,点D是AC的中心,且角A+角CDB=90°,过点A,D作圆O,使圆心O在AB上,圆O与AB交点E1.求证：直线BD与圆O相切2.若AD：AE=4:5,BC=6,求圆O的直径
因为 圆心O在AB上,且圆O过点 D
所以 ∠ADE = 90°
所以 DE ∥ CB
即 DE 是△ABC 的中位线
连接 OD ,连接 BD
因为 ∠A + ∠CDB = 90°
∠CDB = ∠A + ∠ABD
∠DOB = ∠A + ∠ADO
∠A = ∠ADO
所以 ∠ODB = 180° - ∠ABD -∠DOB
= 180° - ∠ABD - （∠A + ∠ADO）
= 180° - ∠CDB - ∠A
= 180° - 90°
= 90°
所以 BD⊥OD
即直线BD与圆O相切
因为 AD：AE=4:5
DE ∥ CB
所以 AC：AB=4:5
又因为 △ABC 是直角三角形
所以 AC：AB：BC = 4 :5 :√(5^2 - 4^2) = 4 :5 :3
又因为 BC = 6
所以 AB = 10
易得 AB = 10
所以 圆O的直径 AE = AB/2 = 5
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（1）证明：连接OD
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
又∵∠A+∠CDB=90°
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°
∴BD⊥OD
∴BD是⊙O切线
（2）连接DE
...
全部展开
（1）证明：连接OD
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
又∵∠A+∠CDB=90°
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°
∴BD⊥OD
∴BD是⊙O切线
（2）连接DE
∵AE是直径
∴∠ADE=90°
又∵∠C=90°
∴∠ADE=∠C
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ACB
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中点
∴AD=AC
∴DE=BC
∵BC=6，∴DE=3
∵AD：AE=4：5
在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x
那么DE=3x
∴x=1
∴AE=5
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