已知如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tan∠ABC=4/3,直线MN是梯形的对称轴,点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合）,射线BP交线段CD与点E,过点C作CF‖AB交射线BP于点F（1）求证：PC²=PE·P

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/23 14:34:18

已知如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tan∠ABC=4/3,直线MN是梯形的对称轴,点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合）,射线BP交线段CD与点E,过点C作CF‖AB交射线BP于点F（1）求证：PC²=PE·P
已知如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tan∠ABC=4/3,直线MN是梯形的对称轴,点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合）,射线BP交线段CD与点E,过点C作CF‖AB交射线BP于点F
（1）求证：PC²=PE·PF
（2）设PN=x,CE=y,试建立y和x之间的函数关系式,并求出定义域
（3）联结PD,在点P运动过程中,如果△EFC和△PDC相似,求出PN的长.

已知如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tan∠ABC=4/3,直线MN是梯形的对称轴,点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合）,射线BP交线段CD与点E,过点C作CF‖AB交射线BP于点F（1）求证：PC²=PE·P
（1）∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠ABC=∠DCB,
∵直线MN是梯形的对称轴,
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB,
∴∠ABP=∠DCP,
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC,
∴△PEC∽△PCF,
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵,
∴．
由题意有EG∥MN,
∴,即,
∴；
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时,PD∥CF,
∴∠MDP=∠ABC,
即,
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时,过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则．
∴∠ODC=∠DCB,
∴DO==,
又,即
．
因为2都在定义域内,所以当x=2时,△EFC和△PDC相似．

（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC=tan∠DCB=
43，
∴EG=
45y，GC=
35y．
由题意有EG∥MN，
∴PNEG=
BNBG，即x45y=
4.59-
35y，
∴y=15xx+6（0＜x≤3）；
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠MDP=∠A...

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（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC=tan∠DCB=
43，
∴EG=
45y，GC=
35y．
由题意有EG∥MN，
∴PNEG=
BNBG，即x45y=
4.59-
35y，
∴y=15xx+6（0＜x≤3）；
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠MDP=∠ABC，
即1.54-x=
34，
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH=EH=
5-y2．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=DHcos∠ODH=5-y2•
53，
又∵MOMP=
43，
∴x=
25±
24116．
因为2都在定义域内，所以当x=
25±
24116orx=2时，△EFC和△PDC相似．

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