作业帮在三角形ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,三角形ABCD的面积为6,D为三角形内的任一点,点D到三边距离之和为d,(1)、求sinA (2)求b、c (3)求d取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:34:00
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,三角形ABCD的面积为6,D为三角形内的任一点,点D到三边距离之和为d,(1)、求sinA (2)求b、c (3)求d取值范围
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,三角形ABCD的面积为6,D为三角形内的任一点,点D到三边距离之和为d,(1)、求sinA (2)求b、c (3)求d取值范围
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,a^2-c^2=b^2-8bc/5,a=3,三角形ABCD的面积为6,D为三角形内的任一点,点D到三边距离之和为d,(1)、求sinA (2)求b、c (3)求d取值范围
因为 a^2-c^2=b^2-8bc/5
所以 8bc/5=b^2+c^2-a^2
所以 4/5=(b^2+c^2-a^2)/2bc
由余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=4/5
所以, sinA=3/5
(2) 因为 S△ABC=(bcsinA)/2=6
所以 bc=20
又因为 a=3, a^2-c^2=b^2-8bc/5
所以 b^2+c^2=41
又因为 b^2*c^2=400
所以 b^2、c^2恰好是一元二次方程 X^2－41X+400=0的两根
(X-16)(X-25)=0
所以 X1=16 , X2=25 即：b^2=16 c^2=25 或b^2=25 c^2=16
所以,b=4 、c=5 或 b=5、c=4
(3) 由(2)知△ABC为直角三角形
以Rt△ABC的两直角边为x轴、y轴 如图：直线AB所在的方程：3x+4y-12=0
z=(12-3x-4y)/5 （用点到直线的距离公式）
所以,d=x+y+z=2x/5+y/5+12/5---------------------（*）
利用线性规划求d得最大值和最小值
将点C(0,0) A(4,0) B(0,3)分别代入（*）式
得：d=12/5 =2.4 ; d=4 ; d= 3
因为点D在三角形内,所以 2.4<d<4
所以d得取值范围：2.4<d<4
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