求函数f(x)=2x³+3x²-12x+1,在x∈[-1,3]区间内的最大值和最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/28 20:58:19
求函数f(x)=2x³+3x²-12x+1,在x∈[-1,3]区间内的最大值和最小值

求函数f(x)=2x³+3x²-12x+1,在x∈[-1,3]区间内的最大值和最小值
求函数f(x)=2x³+3x²-12x+1,在x∈[-1,3]区间内的最大值和最小值

求函数f(x)=2x³+3x²-12x+1,在x∈[-1,3]区间内的最大值和最小值
∵f(x)=2x³+3x²-12x+1
∴f'(x)=6x²+6x-12=6(x²+x-2)=6(x+2)(x-1)
令f'(x)=0,得x=1或x=-2(舍去)
∴当x∈[-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,3]时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴当x=1时,函数f(x)取得极小值,也是最小值f(1)=-6
又f(-1)=14,f(3)=46
∴函数f(x)=2x³+3x²-12x+1在x∈[-1,3]上的最大值为46,最小值为-6.

f'(x)=6x²+6x-12
=6(x²+x-2)
=6(x+2)(x-1)=0
x=-2(舍去)或x=1
f(-1)=-2+3+12+1=14
f(1)=2+3-12+1=-6
f(3)=2×27+3×9-12×3+1=46
所以
最大值=46
最小值=-6

求导,根据导数大于0还是小于0把原函数的增减画出来,对应【-1,,3】区间看最大值和最小值

f'(x)=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)
当x<-2和x>1时f(x)>0,-2则f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)单调递增,在(-2,1)单调递减
∴在【-1,3】上f(x)min=f(1),f(x)max=f(-1)或f(3)
∵f(-1)=14,f(1)=-6,f(3)=46.
∴f(x)min=f(1)=-6,f(x)max=f(3)=46