作业帮在数列{an}中,a1=1,Sn=a1+a2+…+an,an=2Sn-1(此处n-1为下标）（n大于等于2)求数列an的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 18:19:38
在数列{an}中,a1=1,Sn=a1+a2+…+an,an=2Sn-1(此处n-1为下标）（n大于等于2)求数列an的通项公式
在数列{an}中,a1=1,Sn=a1+a2+…+an,an=2Sn-1(此处n-1为下标）（n大于等于2)求数列an的通项公式
在数列{an}中,a1=1,Sn=a1+a2+…+an,an=2Sn-1(此处n-1为下标）（n大于等于2)求数列an的通项公式
遇到a[n]与S[n]的关系,要熟练地利用a[n]=S[n]-S[n-1](n≥2)这个关系式.一定要记得验证当n=1时,利用S[1]=a[1]验证上述通项公式是不是也成立.如果当n=1时,a[1]不符合刚才求的通项公式,那么通项公式就要分“n=1时”和“n≥2时”这2种情况写出来.虽然在大多数情况下,验证都是成立的,而且看起来很啰嗦.但问题不仅仅是考试扣不扣分的问题(当然不写完整肯定扣分),而是一个人做事的逻辑是否缜密的问题.开始时求的通项公式仅仅在n≥2时成立,从逻辑上不能包括n=1时的情况,哪怕答案是一致的.对一件事情下定论时必须要有充分的理由!书写“a[n]=S[n]-S[n-1](n≥2)”这个式子时,后面小括号内对n的范围的说明也不能少,否则会扣分.如果使用的方法是“a[n+1]=S[n+1]-S[n]”,那就不必写“(n≥1)”这句废话了.无论用什么关系式下手,最后还是得验证a[1]是否符合通项.
∵a[n]=2S[n-1](n≥2)
∴a[n+1]=2S[n]
以上2个式子相减得：
a[n+1]-a[n]=2(S[n]-S[n-1])=2a[n]
a[n+1]=3a[n]
∵a[1]=1,故a[n]是以1为首项,3为公比的等比数列,a[n]的通项公式为a[n]=3^(n-1)(n≥2).
当n=1时,a[2]=2S[1]=2a[1],自己算算a[1]看看通项公式需不需要写成分段函数的形式.
a(n)=2S(n-1)
a(n-1)=2S(n-2)
二式相减得a(n)=3a(n-1) (n>=3)
有a2=2a1
则a(n)=2*a1*3^(n-2)=2*3^(n-2) (n>=2)
a1=1 n=1
s[n]/s[n-1]=2,
可知：对于这种类型的应该用垒乘，
s[n]/s[n-1]*s[n-1]/s[n-2]……s[3]/s[2]*s[2]/s[1]=2*2*……*2*2=2^n-1;
分子分母相消可知：
s[n]/s[1]=2^n-1
由于s[1]=a[1]=1;
故：s[n]=2^n-1;
...
全部展开
s[n]/s[n-1]=2,
可知：对于这种类型的应该用垒乘，
s[n]/s[n-1]*s[n-1]/s[n-2]……s[3]/s[2]*s[2]/s[1]=2*2*……*2*2=2^n-1;
分子分母相消可知：
s[n]/s[1]=2^n-1
由于s[1]=a[1]=1;
故：s[n]=2^n-1;
那么：s[n-1]=2^n-2;
记住：a[n]=s[n]-s[n-1];
所以：a[n]=2^n-2
以上情况是在n>=2的基础上做的，现在要检查当n=1是是否成立！！！！！非常重要哈，很容易忽视！！！！
当n=1时，a[1]=2^(1-2)=1/2不等于已知的1；故不成立！！
所以这时必须分开写！！！一定要！！
a[n]=2^n-2 (n>=2);
a[n]=1 (n=1);
收起