因式分解（1）.15+2x-x的平方 （2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25 (3)X的4次-Y的四次 （4）A的3次加B的3次分之因式分解（1）.15+2x-x的平方（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25(3)X的4次-Y的四次因式分解（4）A的3

因式分解（1）.15+2x-x的平方 （2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25 (3)X的4次-Y的四次 （4）A的3次加B的3次分之因式分解（1）.15+2x-x的平方（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25(3)X的4次-Y的四次因式分解（4）A的3
因式分解（1）.15+2x-x的平方 （2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25 (3)X的4次-Y的四次 （4）A的3次加B的3次分之
因式分解（1）.15+2x-x的平方
（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25
(3)X的4次-Y的四次因式分解
（4）A的3次加B的3次分之一
（5）X的二分之一+X的二分之一=3,求（1）X的三次+X的负三次（2）X+X负一次-2分之X的平方-X的-2次-3的值

因式分解（1）.15+2x-x的平方 （2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25 (3)X的4次-Y的四次 （4）A的3次加B的3次分之因式分解（1）.15+2x-x的平方（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25(3)X的4次-Y的四次因式分解（4）A的3
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数．
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc


显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立．
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解．
解 因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
所以

说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解 设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试．
例7 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2,则
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
例8 分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．
例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2
=6〔(x4-2x2+1)+2x2〕+7x(x2-1)-36x2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x〕〔3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体．
解法2


原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u,xy=v,则
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．
练习一
1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．分解因式：
(1)x3+3x2-4；
(2)x4-11x2y2+y2；
(3)x3+9x2+26x+24；
(4)x4-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

15+2x-x的平方
=(x-3)(x+5)
（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25
=((x+3)²+（y-4）²
3)X的4次-Y的四次因式分解
=（x²+y²）（x+y）（x-y）
（4）A的3次加B的3次分之一
=（A+1/B）（A²-A/B+1/B²）
（5）X...

全部展开

15+2x-x的平方
=(x-3)(x+5)
（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25
=((x+3)²+（y-4）²
3)X的4次-Y的四次因式分解
=（x²+y²）（x+y）（x-y）
（4）A的3次加B的3次分之一
=（A+1/B）（A²-A/B+1/B²）
（5）X的二分之一+X的二分之一=3，求（1）X的三次+X的负三次（2）X+X负一次-2分之X的平方-X的-2次-3的值
没看懂什么意思

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1 （5-x）（3+x)
2 原式= (x+3)^2-(Y+4)^2=（x-Y-1）（x+Y+7)

（1）.15+2x-x的平方=(5-x)(3+x)
（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25=x²+6x+9+y²-8y+16=(x+3)²+(y-4)²
(3)X的4次-Y的四次=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)
（4）A的3次加B的-3次...

全部展开

（1）.15+2x-x的平方=(5-x)(3+x)
（2）x的平方+Y的平方+6X-8Y+25=x²+6x+9+y²-8y+16=(x+3)²+(y-4)²
(3)X的4次-Y的四次=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)
（4）A的3次加B的-3次=(A+B^-1)(A²-AB^-1+B^-2)
（5）X²+X的负2次=3，
X²+2+X^-2=1
(X+1/X)²=1
∴X+1/X=±1
X²-2+1/X²=5
(X-1/X)²=5
∴X-1/X=±√5
求（1）X的三次+X的负三次
=(X+1/X)(X²-1+1/X²)
=±1*(3-1)
=±2
（2）X+X负一次-2分之X的平方-X的-2次-3的值
(X²-1/X²-3)/(X+1/X-2)
=[(X-1/X)(X+1/X)-3]/(X+1/X-2)
=[(±√5)(±1)-3]/(±1-2)
=(±√5-3)/(-3) 或=3±√5

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