作业帮已知椭圆x^3/3b^2+y^2/b^2=1过椭圆右焦点的直线y=x+m与椭圆交于A、B两点设M为椭圆上任意一点,且向量OM=λ向量OA+μ向量OB试证明λ^2+μ^2为定值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 23:26:40
已知椭圆x^3/3b^2+y^2/b^2=1过椭圆右焦点的直线y=x+m与椭圆交于A、B两点设M为椭圆上任意一点,且向量OM=λ向量OA+μ向量OB试证明λ^2+μ^2为定值
已知椭圆x^3/3b^2+y^2/b^2=1
过椭圆右焦点的直线y=x+m与椭圆交于A、B两点
设M为椭圆上任意一点,且向量OM=λ向量OA+μ向量OB
试证明λ^2+μ^2为定值
已知椭圆x^3/3b^2+y^2/b^2=1过椭圆右焦点的直线y=x+m与椭圆交于A、B两点设M为椭圆上任意一点,且向量OM=λ向量OA+μ向量OB试证明λ^2+μ^2为定值
你写错了
椭圆x^2/3b^2+y^2/b^2=1
即：x^2+3y^2=3b^2 ,①
设向量OM=(x,y),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)
即：x=λx1+μx2
y=λy1+μy2
M在椭圆上,把坐标代入椭圆方程①
（λx1+μx2）^2+3(λy1+μy2)^2=3b^2
λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2)
+2λμ(x1*x2+3y1*y2)=3b^2 ,②
直线过右焦点,直线方程即：
y=x-c
把直线代入椭圆,直线交椭圆于AB,求交点：
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
由韦达定理：
x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2)=3/2*c,
x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=3/8*c^2
a^2=3/2*c^2,b^2=1/2*c^2 ,
(a^2=3b^2,c^2=2b^2)
由
x1x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2))=3/8*c^2
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1*x2-3(x1+x2)c+3c^2
=3/2c^2-9/2c^2+3c^2=0
而A,B在椭圆上：
x1^2+3y1^2=3b^2 ,x2^2+3y2^2=3b^2 全部代入②知：
λ^2+μ^2=1 为定值.