作业帮四边形ABCD中,M,N分别是对角线AC,BD上的中点,又AD,BC的延长线交于P,求证:S三角形PMN=1/4 S四边形ABC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:39:57
四边形ABCD中,M,N分别是对角线AC,BD上的中点,又AD,BC的延长线交于P,求证:S三角形PMN=1/4 S四边形ABC
四边形ABCD中,M,N分别是对角线AC,BD上的中点,又AD,BC的延长线交于P,求证:S三角形PMN=1/4 S四边形ABC
四边形ABCD中,M,N分别是对角线AC,BD上的中点,又AD,BC的延长线交于P,求证:S三角形PMN=1/4 S四边形ABC
◆知识点:等底同高的三角形面积相等.
证明:连接AN,CN.
∵DN=BN.
∴S⊿ADN=S⊿ABN.(等底同高的三角形面积相等).
则:S⊿ADN=(1/2)S⊿ABD;
同理可证:S⊿PDN=S⊿PBN=(1/2)S⊿PBD;
S⊿AMN=S⊿CMN=(1/2)S⊿ACN;
S⊿PAM=S⊿PCM=(1/2)S⊿PAC;
S⊿ABN=S⊿ADN=(1/2)S⊿ABD;
S⊿BCN=S⊿CDN=(1/2)S⊿BCD.
∴S⊿ADN+S⊿PDN=(1/2)S⊿ABD+(1/2)S⊿PBD.
即S⊿PAN=(1/2)(S⊿ABD+S⊿PBD)=S⊿ABP.-------------(1)
又S⊿PAM+S⊿AMN=(1/2)(S⊿ACN+S⊿PAC).
故:S⊿PMN=S⊿PAN-S⊿PAM-S⊿AMN=(1/2)(S⊿ABP-S⊿PAC-⊿ACN)
即:S⊿PMN=(1/2)(S⊿ABN+S⊿BCN)=(1/2)[(1/2)S⊿ABD+(1/2)S⊿BCD]
故:S⊿PMN=(1/2)×(1/2)(S⊿ABD+S⊿BCD)=(1/4)S四边形ABCD.
参考:http://z.baidu.com/question/96967080.html?si=1
问题说的是四边形，你就举特例等腰梯形来证明。
很久不做题了，忘记怎么了做。希望能帮到你。